2 Haziran 2012 Cumartesi

DNA nın Matematiği Pekiyi

Biyoloji ve matematiğin birbirine hiç benzemediğini mi düşünüyorsunuz? Ne yazık ki, size çok yanıldığınızı söylemek zorundayız. Çünkü biyolojik ve matematiksel işlemler, çok önemli ortak özelliklere sahip. Bir canlının sahip olduğu son derece karmaşık yapı, DNA dizilerinde şifrelenmiş genetik bilginin üzerine uygulanan basit işlemlerin sonucunda oluşuyor. Tüm karmaşık matematik problemleri de, aslında benzer basit işlemlerin birleşimi. DNA bilgisayarlarının öyküsü de 1994’ de Leonard M. Adleman’ın bu benzerliği kullanarak, aslında pek de önemli olmayan bir hesaplama problemini ,DNA’yı kullanarak çözmeyi denemesiyle başlıyor. Bir insanın birkaç dakikada ya da basit bir masaüstü bilgisayarı göz açıp kapayıncaya kadar geçecek sürede çözebileceği bir problemi DNA kullanarak çözmek, Adleman’ın tam 7 gününü almış. Çözdüğü problem , Gezgin Satıcı Problemi ( Travelling Salesman Problem-TSP). Problemin amacı, herhangi bir sayıdaki kentler arasında, hepsine yalnızca bir kez uğrayarak başı ve sonu olan bir rota çizmek. Problemin önemiyse, hedefe yönelik bilinen tüm matematik problemlerinin, bir TSP problemi olarak çözülebilecek olması. Şehir sayısı arttıkça, çözüm de karmaşıklaşıyor. Çok fazla kent sayısı içeren problemleri çözmek ,bildiğimiz en gelişmiş süper bilgisayarlar için bile hala oldukça zor.
Adleman’ın DNA’yı kullanarak bu problemi çözmek için kullandığı temel düşünce, veriyi DNA moleküllerinin içine saklayıp, daha sonra bunları laboratuar teknikleriyle düzenleyerek üzerine belli işlemler uygulamaktı. Öncelikle 7 adet DNA zinciri seçerek, bunların her birini bir şehri temsil etmek için kullandı. Gelişigüzel seçilen zincirlerin tümü, 20 baz uzunluğundaydı. Şehirlerin arasındaki yollar içinse, yarısı bu 20 bazdan 10’unun, diğer yarısıysa diğer 10’unun tamamlayıcısı bazlardan oluşan 20 bazlık tamamlayıcı diziler kullandı. Adleman daha sonra tüm bu DNA zincirlerini, içinde su, DNA ligaz ve tuzdan oluşan bir çözeltinin bulunduğu bir test tüpünün içine koydu. Tüpün içindeki DNA zincirleri kısa süre içinde, olası tüm rotaları verecek şekilde birleştiler. Bu aşamadan sonra Adleman yalnızca problemin çözümü olacak rotayı elde etmek için, çeşitli kimyasal teknikler uyguladı. Bunun sonucunda test tüpünün içindeki fazla sıvıyı ve DNA’yı boşaltarak, 7 kentlik Gezgin Satıcı Problemi’nin çözümünü şifreleyen saf DNA’yı elde etti.
Adleman’ın sunumu yalnızca 7 şehri içeriyorsa da, kolay gibi görünen bu çözüm bir çok açıdan oldukça önemli. Öncelikle, bildik geleneksel hesaplama yöntemleriyle çözülmesi çok güç ya da imkânsız olan bir grup problemin, DNA kullanılarak çözülmesinin olanaklarını ortaya koydu. Ayrıca Adleman DNA’yı bir veri yapısı olarak kullanarak bu yapının hesaplama işlemlerinde, oldukça paralel bir şekilde çalışabileceğini gösterdi. Laboratuarda geçen 7 gün sonunda ulaştığı sonuçsa, DNA molekülü kullanarak yapılan hesaplamaların ilk örneğiydi.

MATEMATİK TERİMLERİ

Matematik Terimleri Sözlüğü
A ile B nin Kartezyen Çarpımı: Birinci bileşeni A dan, ikinci bileşeni B den alınarak elde edilen ikililerin kümesidir…
A Kümesinden B nin Farkı: A kümesinin B kümesi ile ortak olmayan elemanlarından olu-şan kümedir…
A Kümesinden B ye Fonksiyon: A nın elemanlarından herbirini, B nin elemanlarına bir ve yalnız bir kez eşleyen bağıntıdır…
Açı: Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesidir…
Açık Önerme: İçinde bulunan bilinmeyene verilen değerlere göre doğru ya da yanlış önerme olan ifadelerdir…
Açıortay: Başlangıç noktası açının köşesi olan ve açının kenarlarıyla eş açılar oluşturan ı-şındır…Açısal Bölge: Açı ile açının iç bölgesinin birleşim kümesidir…
Aksiyom: Doğru olduğu ispatsız kabul edilen matematiksel ifadedir…
Alan: Bir yüzey parçasının ölçüsüdür… Bir yüzeyde birim yüzeyin kaç defa olduğunu göste-ren sayıdır…

Alt Küme: Bir kümenin elemanlarının sayısına göre birerli, ikişerli ya da daha fazla sayıdagruplarla oluşturduğu kümedir… Boş küme her kümenin alt kümesidir…
Analitik Düzlem: Üzerine koordinat sistemi yerleştirilmiş düzlemdir…
Analitik Geometri: Noktaların koordinatlarının sayısal fonksiyonları aracılığıyla bir koordi-nat sisteminde gösterilen geometrik nesneleri inceleyen matematik koludur…
Apsis: Koordinat düzleminde bir noktayı gösteren sıralı ikilinin birinci terimidir… (1,9) ikilisiyle gsterilen noktanın apsisi 1 dir…
Apsis Ekseni: Koordinat düzleminde yatay eksen, x eksenidir…
Ar: 100 metrekarelik arazi ölçü birimidir…
Arada Olma: Aynı doğru üzerinde farklı üç noktadan birisinin diğer ikisinin arasında olma-sıdır…
Aralarında Asal Sayılar: En büyük ortak bölenleri 1 olan sayma sayılarıdır… 4 ile 15 aralarında asaldır…
Aritmetik: 1. Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi dört işlemin tanımına temel olan tamsayılar kümesinin özellikleri kurulu matematik koludur… 2. Hesaplama ve varsayım kur-ma biçimidir…
Aritmetik Orta: Sonlu bir sayı kümesi elemanları toplamının, bu elemanların sayısına bölü-müyle ortaya çıkan sayıdır…
Asal Çarpanlara Ayırma: Bir sayma sayısı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazma-dır… 24 = 2 x 2 x 2 x 3 gibi…
Asal Sayı: 1 ve kendisinden başka böleni olmayan sayıdır…
Aykırı Doğrular: Aynı düzlemde olmayan ve kesişmeyen doğrulardır…
Ayrık Kümeler: Ortak elemenları olmayan kümelerdir…
Ayrık Olay: Meydana gelişi başka bir olaya bağlı olmayan olaydır…
Ayrıt: Bir cismin iki yüzeyinin arakesitidir…
Bağıntı: Bir kartezyen çarpımın alt kümesidir…
Basit Kapalı Eğri: Düzlemde herhangi bir noktadan bir kez geçmek üzere, çizime başlanılan noktada biten eğridir…
Bileşik Önerme: Birden fazla basit önermeden oluşan önermedir…
Binom: Dereceleri ya da değişkenleri farklı iki terimden oluşan polinomdur…
Bire Bir Eşleme: İki kümenin elemanları arasında, bir elemana karşı yalnız bir eleman alınarak yapılan eşlemedir…
Bire Bir Fonksiyon: Tanım kümesinin her bir elemanını yine kendisine eşleyen fonksiyondur…Birleşim İşlemi: Kümelerin tüm elemanlarından oluşan kümelerin bulunmasıdır…
Birleşim Kümesi: Kümelerin tüm elemanlarının oluşturduğu kümedir…
Boş Küme: Hiçbir elemanı olmayan kümedir…
Boyut: Uzunluk, genişlik ve yükseklikten herbiridir…
Bölen: Bir bölme işleminde bölünenin kaç eşit parçaya ayrıldığını gösteren sayıdır…
Bölüm: Bölme işleminde bölünen içinde bölenin kaç defa olduğunu gözteren sayıdır…
Bölünen: Bölme işleminde eşit kısımlara ayrılmak istenen sayıdır…
Bütünler Açılar: Ölçüleri toplamı 180° olan iki açıdır…
Büyük Çember: Küre yüzeyi ile kürenin merkezinden geçen düzlemin arakesitidir…
Büyük Daire: Küre cismi ile kürenin merkezinden geçen düzlemin arakesitidir..
Cisim: Bir küme ve bu küme üzerinde tanımlanmış iki işlemin belli şartları taşımasıdır…
Çap: Çemberin merkezinden geçen kiriştir…
Çarpan: Bir çarpma işlemindeki sayılardan herbiridir…
Çarpanlara Ayırma: Bir sayma sayısını en aziki sayının çarpımı şeklinde yazmadır…Örnek: 48 = 6 x 8
Çarpım:
Çarpma işleminin sonucudur…
Çelişki: Doğruluk değeri daima “0″ olan bileşik önermedir…
Çember: Düzlemde sabit bir noktadanaynı uzaklıkta bulunan noktaların kümesidir…
Çembersel Bölge: Çember ile çemberin iç bölgesinin birleşimidir…
Çıkan: Çıkarma işleminde, eksilenden ne kadar eksiltileceğini gösteren sayıdır…
Çift Gerektirme: Totoloji olan iki yönlü koşullu önermedir…
Çift Sayı: 2 ile tam bölünebilen sayıdır…
Dar Açı: Ölçüsü 90° den küçük olan dar açıdır…
Dekametre: 10 metrelik uzunluk ölçü birimidir…
Dekar: 10 ar veya 1000 m2 lik arazi ölçü birimidir…
Denk Kümeler: Birebir eşlenebilen, eleman sayıları eşit olan kümelerdir…
Derece: Bir çemberin 1 / 360 lık yayını gören merkez açının ölçüsü 1 derecedir…
Dikdörtgen: Düzlemde üçü doğrusal olmayan A , B , C , D noktalarının birleşiminden elde edilen dörtgenin açıları dik ise [AB] , [BC] , [CD] , [DA] doğru parçalarının birleşim kümesidir…Dikdörtgenler Prizması: Altı tane dikdörtgensel bölgenin birleşiminden oluşan kapalı bölgedir…Dikdörtgensel Bölge: Dikdörtgen ile iç bölgesinin birleşim kümesidir…
Dikdörtgenler Prizması Cismi: Dikdörtgenler prizması ile içinin birleşimidir…
Dik Üçgen: Bir açısı dik olan üçgendir…
Doğal Sayı: N = {0,1,2,3,4,…} kümesinin elemanlarıdır…
Doğru Açı: Ölçüsü 180° olan açıdır…
Eksilen: Çıkarma işleminde azaltılması istenen sayıdır…
Eleman: Bir kümeyi oluşturan nesnelerden herbiridir…
En Büyük Ortak Bölen: İki veya daha çok sayma sayısını ortak olarak bölen sayma sayılarının en büyüğüdür…
En Küçük Ortak Kat: İki veya daha çok sayma sayılarının ortak katlarının en küçüğü olan sayıdır…
Eş Üçgenler: Karşılıklı kenarlarının uzunlukları eşit ve karşılıklı açıların ölçüleri eşit olan üçgenlerdir…
Eşit Kümeler: Aynı elemanlardan oluşan kümelerdir…
Evrensel Küme: Üzerinde çalışılan konuyla ilgili olan tüm elemanları içeren kümedir…
Evrensel Niceleyici: ile gösterilir ve “her” ya da “bütün” diye okunur…
F Fonksiyonunun Değer Kümesi: A dan B ye f fonksiyonu verildiğinde, B kümesidir…
F Fonksiyonunun Görüntü Kümesi: A dan B ye f fonksiyonu verildiğinde, f(A) kümesidir…
F Fonksiyonunun Tanım Kümesi: A dan B ye f fonksiyonu verildiğinde, A kümesidir…
Faiz: Bankaya yatırılan paranın belirli bir süre sonunda getirdiği kazançtır…
Fark: Çıkarma işleminin sonucudur…
Fonksiyon: Çıkış kümesinin her elemanına, en çok bir görüntü eşilk ettiren bağıntıdır…
G Bileşke F Fonksiyonu: f : A –> B ve g : B –> C birer fonksiyon olmak üzere, A dan C ye (gof)(x) = g( f(x) ) kuralı ile belirlenen fonksiyondur…
Genişlik: Dikdörtgen veya dikdörtgenler prizmasında boyutlardan biridir…
Gerektirme: Totoloji olan şartlı önermedir…
Görüntü: Sayı ekseni üzerinde bir sayıya karşılık gelen noktadır…
Grup: Bir küme ve bunun üzerinde tanımlanan bir işlemin belli şartları taşımasıdır…
Hacim: Kapalı uzay parçasının ölçüsüdür… Bir uzay parçasında birim hacimin kaç defa olduğunu gösteren sayıdır…
Halka: Bir küme ve bu küme üzerinde tanımlanmış iki işlemin belli bazı şartları taşımasıdır…Hektar: 100 ar veya 10000 m² lik arazi ölçüsü birimidir…
Hektometre: 100 metrelik uzunluk ölçü birimidir…
Hipotez: p => q teoreminde p önermesidir…
Hüküm: p => q teoreminde q önermesidir…
Işın: Doğruda ayırma noktası ile bu noktanın bir yanında bulunan noktaların oluşturduğu kümedir…
İçine Fonksiyon: Örten olmayan fonksiyon.
İhtimal: Bir olayın olabilme şansını belirten sayıdır…Olasılık…
İki Kümenin Birleşimi: İki kümenin elemanlarından oluşan kümedir…
İki Kümenin Kesişimi: İki kümenin ortak olan elemanlarından oluşan kümedir…
İki Yönlü Koşullu Önerme: pq biçimindeki bileşik önermedir…
İkili: İki nesnenin oluşturduğu sıralı ikilidir…
İkili İşlem: Bir kümenin iki elemanından gene bu kümeye ait bir elemanın elde edilmesini sağlayan kuraldır…
İrrasyonel Sayı: Rasyonel olmayan sonsuza kadar devreden sayıdır… Örnek: = 3,1415…
İskonto: Bir malın satış fiyatı üzerinden yapılan indirimdir…
İspat: Bir teoremin hükmünün kesin olarak doğru olduğunun gösterilmesidir…
İşlem: A x A nın bir alt kümesinden A ya fonksitondur…
Kalan: Bölme işleminde bölünenden artan veya çıkarma işlemindeki farktır…
Kapalı Bölge: Basit bir kapalı eğri ile bu eğrinin iç bölgesinin birleşimidir…
Kapsama: Bir kümenin başka bir kümeyi içine almasıdır…
Kare: Bütün kenarları eş ve karşılıklı açıları dik olan dörtgendir…
Kental: 100 kg’lık ağırlık ölçü birimidir…
Kesen: Çemberi farklı iki noktada kesen doğrudur…
Kesir: Bütünün eş parçalarından bir veya birkaçını gösteren sayıdır…Örnek: 5/7 , 8/9 gibi…Kesişen Doğrular: Yalnız bir ortak noktaları olan doğrulardır…
Kesişim İşlemi: Kümelerin ortak elemanlarının oluşturduğu kümenin bulunmasıdır…
Kesişim Kümesi: Kümelerin ortak elemanlarından oluşan kümelerdir…
Kiriş: Uç noktaları çember üzerinde olan doğru parçasıdır…
Kombinasyon: n, r doğal sayı ve r£n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elamanlı her alt kümesine A kümesinin r li kombinasyonu ya da kombinezonu denir…
Komisyon: yapılan bir alışverişte, aracı olan kimseye yaptığı hizmet karşılığı ödenen para-dır…Komşu Açılar: Birer kenarları ortak, diğer kenarları bu kenara göre farklı tarafta bulunan iki açıdır…
Komşu Bütünler Açılar: Ölçüleri toplamı 180° olan komşu açılardır…
Komşu Tümler Açılar: Ölçüleri toplamı 90° olan komşu açılardır…
Koni: Tabanı dairesel ya da elips biçiminde olan ve yukarı doğru gitgide daralarak sivrilen cisimdir…
Konik: Koni biçiminde olan…
Koordinat Düzlemi: Birbirini dik kesen, yönlendirilmiş iki doğrunun belirttiği düzlemdir…
Küçük Daire: Küre cismi ile kürenin merkezinden merkezinden geçmeyen düzlemin arake-sitidir..
Küçük Çember: Küre kapalı yüzeyi ile kürenin merkezinden geçen düzlemin arakesitidir…
Küp: Altı yüzü de karesel bölge olan prizmadır…
Küre: Uzayda, sabit bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesidir…
Kürenin İçi: Küre merkezine uzaklıkları kürenin yarıçapından küçük olan noktaların kümesidir…Matematik Sistem: Bir küme ve bu küme üzerinde tanımlanmış bir veya daha çok işlemden oluşan sistemdir…
Modüler Aritmetik: m>1 ve m doğal sayılar kümesinin bir elemanı olarak, tamsayıların m ile bölümünden kalan sınıfları ile yapılan aritmetiktir…
Mutlak Değer: x reel sayılar kümesinin bir elemanı olarak, sayı doğrusunda x e karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına uzaklığı, x in mutlak değeridir… x olarak gösterilir…
Nesne: “Kişi” ya da “Kimse” ile anlatılan varlıkların dışında kalan ağırlığı, kütlesi olan her türlü varlıklardır…
Nicelik: Bir şeyin sayılabilen, ölçülebilen, azalıp çoğalabilen özelliği yani miktarıdır…
Nitelik: Bir şeyin nasıl olduğunu belirten, onu başka şeylerden ayıran özelliktir…
Nokta: İki doğrunun kesiştiği yerde bulunan çok küçük boyutlu uzay öğesidir…
Olasılık: Bir olayın olabilme şansını gösteren sayıdır…
Olmayana Ergi Metodu: Bir teoremde hükmün değilini doğru varsayıp hipotezin değilini elde ederek yapılan ispattır…
Ondalık Açılım: Bir ondalık kesrin virgül ile gösterilmesidir…Örnek: 2 / 5 = 0,4 gibi…
Ondalık Kesir: Paydası 10 un tam kuvveti şeklinde olan veya bu duruma getirilebilen sayılardır…
Oran: Aynı ölçü birimi ile ölçülebilen çoklukların veya iki kümenin elemanlarının bölüm yoluyla karşılaştırılmasıdır….
Orantı: İki oranın eşitliğidir… a,b,c,d gerçek sayıları için a/b = c/d eşitliği bir orantıdır…
Ortak Bölen: Birden fazla sayma sayısını kalansız olaraka bölen sayma sayısıdır…
Ortak Kat: Birden fazla sayma sayısının katı olan sayma sayısıdır…
Paralel Doğrular: Bir düzlem içinde olup ortak noktaları bulunmayan doğrulardır…
Paralelkenar: Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgendir…
Permütasyon: Bir kümenin ya da küme parçalarının elemanlarının belli bir sıraya göre dizilişleridir…
Permütasyon Fonksiyonu: A dan A ya bire bir olan fonksiyondur…
Rakam: Sayıları yazmak için kullanılan işaretlerdir…
Rasyonel Sayı: a,b birer tamsayı, b sıfır olmamak şartıyla a/b şeklinde yazılabilen sayıdır…
Reel Sayılar: Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimi olan kümedir…
Sabit Fonksiyon: Tanım kümesinin bütün elamanlarını değer kümesinin aynı elamnı ile eşleyen fonksiyondur…
Sayı Doğrusu: Bir doğru üzerinde bir başlangıç noktası alınıp sağa doğru eşit aralıklarla noktalar işaretlerle , başlangıç noktası 0, diğer noktalar sıra ile 1,2,3,… ile eşlenirse elde edilen şekil bir sayı doğrusu olur…
Sayma Sayısı: {1,2,3,4,…} kümesinin elemanlarından herbiridir…
Sembol: Belirlenmiş bir anlamı olan resim, şekil, harf gibi işaretlerdir… Simge…
Sıralı İkili: Kartezyen çarpım kümesinin elemanlarıdır…
Sıfır Fonksiyonu: f(x)=0 kuralı ile verilen fonksiyondur…
Sonlu Küme: Hiç bir özalt kümesi ile birebir eşlenemeyen kümedir…
Sonsuz Küme: En az bir özalt kümesi ile birebir eşlenebilen kümedir…
Tam Açı: Ölçüsü 360° olan açıdır…
Tamsayılar: Z = {…, – n,…, -1,0,1,2,3,…n,…} sayı kümesidir…
Tek Sayı: Çift olmayan tamsayıdır…
Terim: Toplama ve çıkarma işlemlerinde toplanan veya çıkan sayılardan her biri…
Ters Eleman: A kümesinde tanımlı bir * işleminin etkisiz elemanı e olduğuna görea * x = x * a = e koşulunu sağlayan x elemanı a elemanının * işlemine göre ters elemanıdır…
Ters Rasyonel Sayılar: Çarpımları 1 olan iki rasyonel sayıdan her biridir…
Totoloji: Doğruluk değeri daima 1 olan bileşik önermedir…
Tümler Açılar: Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıdır…
Uzay: Bütün varlıkların içinde bulunduğu sonsuz sayıda noktaların oluşturduğu kümedir…Uzunluk: Dikdörtgen veya dikdörtgenler prizmasındaki boyutlardan biridir…
Varlıksal Niceleyici: sembolü ile gösterilir ve “en az bir” veya bazı anlamlarını taşır…
Venn Şeması: Bir kümenin elemanlarının bir kapalı eğri içine yazılarak gösterilmesidir…
Vektör: Doğrultuları, yönleri ve boyları aynı olan yönlü doğru parçalarının kümesidir…
Yamuk: Yalnız iki kenarı paralel dörtgendir…
Yarıçap: Çemberin merkezini herhangi bir noktasına birleştiren doğru parçasıdır…
Yay: Çember üzerinde farklı iki nokta ile sınırlı çember parçasıdır…
Yönlü Doğru Parçası: Bir ucu başlangıç, diğer ucu bitiş noktası olarak seçilen doğru parçasıdır…
Yer Vektörü: Başlangıç noktası orijinde olan vektördür…
Zıt Işınlar: Başlangıç noktaları aynı (ortak), bileşimleri bir doğru oluşturan ışınlardır…
Zıt Vektörler: Başlangıç noktası, doğrultuları ve uzunlukları aynı, yönleri zıt olan vektörlerdir…

İlginç Matematiksel Bilgiler



matematikgif.gif  
                 “+” ve “-” işaretleri nereden geldi?  

             ”+” işareti Latin “et = ve, ekle” kelimesinden geliyor. Bu iki işaret 15. yüzyılda ticari kutu veya  sandıkların  ağırlıklarının fazla veya az olduklarını göstermek için kullanılırdı. 40 sene içinde muhasebeciler ve matematikçiler onları kullanmaya başladı.
 
               “=” işaretini kim keşfetti?  

            1557 de Robert Recorde aynı uzunluktaki iki paralel çizginin eldeki diğer şeyler kadar eşit olduğuna karar vermişti.
 


              Mükemmel sayı nedir?
 

           Kendisi hariç, çarpanlarının toplamına eşit olan sayıya mükemmel sayı denir.
 
             Örnek:  
          28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 
  

             Asal sayılar:
 

           Kendisinden ve birden başka hiç bir sayıya tam olarak bölünemeyen sayılar. 2, 3, 5, 7, … gibi.
 
 
            1 niçin asal değildir?

         1 asal kabul edilseydi, herhangi bir sayı, asal sayıların çarpımı şeklinde birden fazla biçimde ifade edilebilirdi. Bu matematikte kabul edilmez. 
 
            Asal çarpan:

          Bir sayının asal sayı çarpanı.

             Bir sayının 0. kuvveti niye 1′dir de sıfır veya başka herhangi bir sayı değildir?  

     Bir sayının sıfırıncı kuvveti 1 olarak tanımlanır, böylece sayının her kuvveti öncekinden bir çarpan daha büyük olur. Yani,
20 = 1
21 = 2 = 2 x 1
22= 4 = 2 x 2
23 = 8 = 2 x 4
24= 16 = 2 x 8 …
 
  
             1729 iki kübün toplamı olarak iki ayrı biçimde ifade edilebilen en küçük sayıdır. 
               1729 = 10^3 + 9^3 = 12^3 + 1^3

               Bunu ilk fark eden Hintli matematikçi Ramanujan’dır. İlginç olan bu işlemi daha sayıyı duyar duymaz zihninden yapmış olmasıdır. Bu sayıya Ramanujan sayısı denir. 
  
               İnsan saç telinin kalınlığının santimetrenin 3/400 u kadar olduğu tahmin ediliyor. Yani, 133 saç telini yan yana koyarsanız 1 cm olur. 
  
    Brahminlerin (Hindistan’da rahipler kastı) sahip oldukları bilgileri diğer kastlardaki kardeşlerinden ve feodal beylerden saklı tutma endişeleri onları Sutralar diye bilinen gizli kodları kullanmaya itmiştir. Aşağıdaki ilahi (Sanskrit) kodlanmış bir matematik bilgisidir: 
            GOPI BHAGYAMADUV RATA SHRINGISHODADI SANDIGA,KALA JEEVITARAVA TAVA GALADDHALARA SANGARA nedir? 

Bu ilahi Tanrı Krishna’ya övgü olarak söylenir. Ondaki gizli anlamı çıkarmak kolay değildir. Fakat kodu çözülünce pi sayısını virgülden sonra 30 basamağa kadar verir. 
  
Şimdi de pisagor teoremini kanıtlayan Pythogoras hakkında bir öykü.  
  
Pytho bir gün bir demirci dükkanının önünden geçiyordu. Örse vuran çekiçlerin çıkardıkları ahenkli sesler ilgisini çekti ve durup dinlemeye başladı. 
5 demirci çalışıyordu ve her birinde farklı büyüklüklerde çekiç vardı. Pytho çekiçlerden düzenli olarak çıkan seslerin bir müzik parçasına benzediğini duyup hayret etti. Dinledikçe fark etti ki, her çekicin ağırlığının farklı olması, örse vurduklarında değişik notalardan ses vermesini sağlıyordu. Çekiç ne kadar ağırsa nota o kadar düşüktü. 
Sonra bir çekicin seslerin ahengini bozduğunu fark etti. Demircilerden çekiçleriyle bir deneme yapmak için izin istedi. Demirciler kabul etti. 
Her çekici dikkatle tarttı. Ahengi bozan çekicin basit bir sayı düzenine uymayan ağırlığa sahip olduğunu buldu. (Diğer çekiçlerin ağırlıkları, bir sayı dizisi oluşturacak şekildeydi.) İncelemelerine devam ettikçe, farklı büyüklüklerdeki çekiçlerle bir müzik skalasını nasıl oluşturabileceğini öğrendi. 
Bu, bir matematikçi tarafından müzikte yapılan en büyük ve en eski keşiflerden biriydi. 

             Roma Rakamları

Romalılar, sayıları yazmakta bir takım harfler kullanırlardı.
I=1
V=5
X=10
L=50
C=100
D=500
M=1000
 
Bugün de zaman zaman kullanılan bu harfler, yan yana getirilerek daha büyük sayılar oluşturulabilir. Mesala “35″,”XXXV” şeklinde yazılır.
Bu sayılar yazılırken bazı uyulması gereken kurallarda vardır. 
1- Bir harf, en fazla üç defa yan yana yazılabilir. 
2- Bir harfin sağına, kendisinden daha küçük değerli bir harf gelirse, toplanarak okunur. XII=11 , DCX=610 , LXXVII= 77 gibi. 
3-Sol tarafa yazıldığında ise çıkarılır. XC=90, IL=49, CD=400 gibi. Sadece bir harf yazılabilir. 
4- Hem sağa, hem de sola daha küçük değerli harfler yazılarak farklı rakamlar yazılabilir. CMLI=951, XLVII=47, CDLV=455 gibi. 
5- Roma rakamı ile yazılabilecek en büyük ve en uzun sayı “3888″ dir.(MMMDCCCLXXXVIII) 
6- Çok sık olmamakla beraber daha büyük sayılara ihtiyaç hissettiklerinde harflerin değerini “1000″ kat arttırmak için üzerlerine çizgi çizmişlerdir. 
üzerine ben çizgi koyamadım ama üzerinde çizgi varmış gibi düşünürseniz; 
 V=5000
X=10000
L=50000
C=100000
D=500000
M=1000000

Dört işlem yapma zorluğu sebebi ile günümüzde fazla kullanılmamaktadır. Bazı usuller geliştirilse de çok büyük sayılara sıra gelince yetersiz kalmaktadır. Ancak yine de bazı kitap sayfalarını numaralandırma, madde işaretleri, saatler gibi kullanım alanları vardır.
  
 9 üzeri 9 üzeri 9
 
  9′un 9. kuvvetinin 9. kuvveti, yani, sadece üç rakamla ifade edilebilen en büyük sayıdır. Bu sayıyı henüz kimse hesaplayamadı. (Denemek ister misiniz?) Bu 369 milyon basamaklı bir sayıdır.

Cevap: 369 milyon basamaklı bir sayıdır.

  
 1′den 10 milyara kadar olan sayılar içinde asal olan 664580 sayıyı içeren tablolar yapılmıştır. Bilinen en büyük asal sayı 2127 – 1′dir. Bu sayı 39 basamaklıdır.

Saniyede bir sayı

 Saniyede bir sayı söyleyerek ve günde 7 saat sayarak 1 milyara kadar saymak isteseydik, bunu ne kadar zamanda yapabilirdik?

 Cevap:sene.

 Googol nedir?

1 den sonra 100 sıfır yazılarak elde edilen sayıya bu ad verilmiştir (yani, 10^100). Şimdiye kadar isimlendirilen en büyük sayılardan biridir. Googolplex googoldan da büyük bir sayıdır. Bir googolplex 1 den sonra bir googol sıfır yazılarak elde edilen sayıdır. Bu sayıyı yazmak için Dünya-Ay arası uzaklığın yetmeyeceğini iddia edenler var.

Çok büyük sayıların okunuşu 
21323412312334523412345623423467812312345612345678912345678812345
67781234567789123456788 
 Yukarıdaki büyük sayının okunuşu;


“iki oktovigintilyon yüz otuz iki septenvigintilyonüç yüz kırk bir sexvigintilyon iki yüz otuz birkenvigintilyon iki yüz otuz üçkattuorvigintilyon dört yüz elli iki trevigintilyonüç yüz kırk bir dovigintilyon ikiyüz otuz dört unvigintilyon beş yüz altmış ikivigintilyonüç yüz kırk iki novemdesilyonüç yüz kırk altı oktodesilyon yedi yüz seksen bir septendesilyon iki yüz otuz birsexdesilyon iki yüz otuz dört kendesilyonbeş yüz altmış bir kattuordesilyon ikiyüz otuz dört tredesilyon beş yüz altmışyedi dodesilyonsekiz yüz doksan birundesilyon iki yüz otuz dört desilyon beş yüz altmışyedi nonilyon sekiz yüzseksen bir oktilyon iki yüz otuz dört septilyonbeş yüz altmış yedi seksilyon yediyüz seksen bir kentilyon iki yüz otuz dörtkatrilyonbeş yüz altmış yedi trilyonyedi yüz seksen dokuz milyar yüz yirmi üç milyon dört yüz elli altı bin yedi yüz seksen sekiz”
 
dir 
 DAHA BÜYÜK SAYILAR NASIL ADLANDIRILIR?
10^0. Bir (1)
10^3. Bin (1.000)
10^6. Milyon (1.000.000)
10^9. Milyar (1.000.000.000)
10^15. Katrilyon
10^18. Kentilyon
10^21 Seksilyon
10^24. Septilyon
10^27. Oktilyon
10^30. Nonilyon
10^33. Desilyon
10^36 . Undesilyon
10^39 . Dodesilyon
10^42 . Tredesilyon
10^45 . Kattuordesilyon
10^48 . Kendesilyon
10^51 . Sexdesilyon
10^54 . Septendesilyon
10^57 . Oktodesilyon
10^60 . Novemdesilyon
10^63 . Vigintilyon
10^66 . Unvigintilyon
10^69 . Dovigintilyon
10^72 . Trevigintilyon
10^75 . Kattuorvigintilyon
10^78 . Kenvigintilyon
10^81 . Sexvigintilyon
10^84 . Septenvigintilyon
10^87 . Oktovigintilyon
10^90 . Novemvigintilyon
10^93 . Trigintilyon
10^96 . Untrigintilyon
10^99 . Dotrigintilyon
10^102 . Tretrigintilyon
10^105 . Kattuortrigintilyon
10^108 . Kentrigintilyon
10^111 . Sextrigintilyon
10^114 . Septentrigintilyon
10^117 . Oktotrigintilyon
10^120 . Novemtrigintilyon
10^123 . Katragintilyon
10^126 . Unkatragintilyon
10^129 . Dokatragintilyon
10^132. Trekatragintilyon
10^135. Kattuorkatragintilyon
10^138. Kenkatragintilyon
10^141. Sexkatragintilyon
10^144. Septenkatragintilyon
10^147. Oktokatragintilyon
10^150. Novemkatragintilyon
10^153. Kenquagintilyon
10^156. Unkenquagintilyon
10^159. Dokenquagintilyon
10^162. Trekenquagintilyon
10^165. Kattuorkenquagintilyon
10^168. Kenkenquagintilyon

Not: 10^3 on üzeri 3 demektir.
Pİ SAYISI 
Kısaca bir dairenin çevresinin çapına oranı, pi sayısını verir. İnsanoğlu, aslında çok önemli vazifeleri olan bu sayı üzerinde çok düşünmüştür. Yıllarca tam olarak bir değer bulamamakla beraber, gerçek değerine en yakın sonuçları kullanabilmek için çaba sarf etmişlerdir.
Pi’ nin kronolojik gelişimine baktığımızda günümüzde dahi tam bir sonuç bulunamamıştır. Çeşitli formüller üretilmesine rağmen sadece her seferinde gerçek değere biraz daha yaklaşılmıştır.
Arşimet 3.1/7 ile 3.10/71 arasında bir sayı olarak hesapladı. Mısırlılar 3.1605, Babilliler 3.1/8, Batlamyus 3.14166 olarak kullandı. İtalyan Lazzarini 3.1415929, Fibonacci ise 3.141818 ile işlem yapıyordu. 18.yyda 140, 19yyda 500 basamağa kadar hesaplandı. İlk bilgisayarlarla 2035 basamağı hesaplanırken günümüzde milyonlarca basamağa kadar çıkılıyor. İşin ilginç tarafı, hâlâ tam bir sonuç yok. Herhangi bir yerinde devir olsa iş yine kolaylaşacak. Ama henüz öyle bir şeye de rastlanmadı


MOBİUS ŞERİDİ

“Dikdörtgen bir kağıt şeridi alıp bir ucundan tutup 180 derece çevirip, şeridin diğer ucuna yapıştırılınca ortaya çıkan şekle Moebius Şeridi denir .”
  
Moebious şeridi kendisi ilk tek yüzlü bir şekil olup A.F.Moebius (1790-1860) tarafından bulunmuştur. Fakat bulunur bulunmaz meşhur olamamıştır, meşhur olması bir matematikçi ve sanat adamı olan M.C.Escher (1898-1972) sayesinde gerçekleşmiştir.

Kriptografi nedir?

 Teknoloji geliştikçe iletişim yöntemleri de gelişti. Daha önceleri bir bilgiyi ne olursa olsun bir yere ulaştırmak hayati öneme haizken, şimdilerde artık bilgi öyle ya da böyle ulaştırılmak istenen noktaya ulaştırılıyor. Peki bu yeterli mi?
Dünyanın yaradılışından beri süre gelen en büyük mücadele bilgi mücadelesidir. Nasıl avlanmasını bilenlerin karnı doymuş, nasıl savaşmasını bilenler kazanmış, nasıl üretmesini bilenler büyümüştür. Daha fazla bilgiye sahip olanlar daima daha büyük ilerleme kaydetmiş ve daha çok söz sahibi olmuştur. Hal böyle olunca, insanların kafasını önemli bir soru meşgul etmiştir; “Daha fazla bilgiye nasıl ulaşırız?”. Tabiki bu önemli soru geçmişte de pek çok insan tarafından sorulmuş ve karşılığında bilimin ve teknolojinin gelişmesine katkıda bulunulmuştur, ancak bu sefer daha büyük gruplar tarafından, daha çok maddi destek ve kimi zaman ise bir devlet politikası olarak görülüp, bu sorunun derinine ulaşılmaya çalışılmıştır. Zaman ilerledikçe, bir şekilde bilgiye ulaşan gruplar, ülkeler ya da topluluklar için bu yeterli olmamaya başlamıştır. Çünkü ortada mide bulandırıcı bir durum vardır; “Acaba ulaştığımız bilgiler yeterli mi?”. Bu sorunun cevabı aslında bir anlamda başkalarının da nekadar bildiğini anlayabilmekte gizli. Tam da bu noktada, artık bilginin ulaştırılmasından da çok, yanlızca istenilen noktaya ulaşması, istenmeyen ellerden korunması daha önem kazanmıştır. Böyle bir güvenliğin sağlanması hiç bir zaman kolay olmamıştır. Bunun için kimi zaman bayanların cazibesi, kimi zaman en kahraman askerler kullanılmış ve bilginin farklı eller deymeksizin istenilen noktaya ulaştırılması sağlanmaya çalışılmıştır. Gelişen teknoloji, internet ve bilgisayarların ciddi gelişimleri ile birlikte günümüzde bunu yapmak çok daha fazla zorlaşmıştır. Bu nedenle bilgisayar ve bilgisayar ağlarında; şifreleme ve deşifreleme teknikleri yani kriptografi kullanılmaya başlanmıştır.
Kriptografi temelde bazı ana konulara yönelir. Bu alanlardan birincisi gizliliktir. Bilgi kesinlikle istenmeyen kişilerin eline geçememelidir. Bir diğeri ise bütünlüktür. Gönderilen bilgi bir bütün halinde olmalıdır, davetsiz misafirler doğru bilgiyi yanlış bir bilgi ile değiştirme imkanına sahip olmamalıdırlar. Bilgi gönderen ya da hazırlayan daha sonra, bunu kendisinin gönderdiğini rededememelidir. Son olarak gönderen ve alıcı birbirlerinin kimliklerini doğrulayabilmelidirler. Davetsiz bir misafir başka birinin kimliğine bürünememelidir.
Şifrelenmiş bir veri şifrelimetindir. Bu metni geri çevirme durumuna ise şifre çözümü denir. İşte bu verilerin güvenliğini sağlayanlara kriptograf, bu bilime ise kriptografi denir. Bunun yanı sıra, şifrelerin analiz edilmesi ve şifre biliminide kapsayan bir matematik dalı vardır ki bu da kriptolojidir.
Veri Şifreleme yaparken Açık ve Gizli olmak kaydı ile iki tür sistem kullanılır. Açık Anahtarlı sistemler kullanılarak yapılan veri şifrelemelerinde, her kişinin açık ve gizli olarak anahtarlara sahip olması gerekir. Gizli anahtarlar sadece sahibinin ulaşabileceği şekilde saklanmalıdır. Aksi takdirde şifrelemenin bir anlamı kalmaz çünkü açık anahtar herkesin ulaşabileceği pozisyondadır. Dolayısı ile tabiki bu iki şifre arasında matematiksel bir bağ olması gerekir. Bu anahtarların ve bağın oluşturulmasında, çok ciddi matematik problemleri kullanıldığından, açık anahtara ulaşan herhangi birinin gizli anahtarı ele geçirmesinin imkansız olduğu düşünülür. Bu tarz sistemler sadece metin alışverişlerinde kullanılmaz. Sayısal imza uygulamalarında, kimlik denetiminde, banka güvenliğinin sağlanmasında, internet üzerinde yapılan alışverişlerde ve daha pek çok yerde kullanılır.
Açık Anahtarlı sistemler temelde şu şekilde işler; İki kişi vardır, birer açık ve birer gizli anahtarları vardır. Birbirlerine gönderecekleri mesajı, açık anahtarları ile şifrelerler, fakat gelen mesajları deşifre etmek için sadece kendilerinde bulunan gizli anahtarları kullanırlar. Örneğin internet üzerinden bir alışveriş yapmak istediğimizde, herkes şirketin açık anahtarını kullanarak kredi kartlarını şifrelerler, ancak gizli anahtarı sadece şirket bildiği için, dışardan gelen dinlemelere karşı güvenlidir.
Burada eğer açık ile gizli anahtar birbirlerine eşitse, sistem simetrik olarak adlandırılır. Aksi durumlarında sistem asimetriktir. Bu açıdan güveliğin herzaman kontrol altında olabilmesi için gizli anahtar daima istenilen kişinin ulaşabileceği bir noktada olmalıdır.
Daha öncede vurguladığım gibi açık anahtarlı sistemlerde karmaşık ve çözülememiş matematiksel problemler kullanılır. Bu nedendendir ki, simetrik sistemlere göre daha yavaştırlar. Dolayısı ile bu sistemlerde anahtar boyutları da yine simetrik sistemlerdeki anahtar boyutlarından daha büyüktür.
Algoritmalardaki bütün güvenlik tamamen anahtara bağlıdır. Herhangi birinin algoritmanızı bilmesi bir şeyi değiştirmez. Anahtarınızı bilmediği sürece, algoritmanızı incelemesi, bir güvenlik açığı oluşturmaz. Dolayısı ile bir sisteme yapılan saldırılar, tamamen o sistemin anahtarının bulunmasına yöneliktir. Bunun içinse, çeşitli saldırı yöntemleri kullanılır. Seçilmiş Açık Metin Saldırısı, Sadece Şifreli Metin Saldırısı, Bilinen Açık Metin Saldırısı, vs.
Yukarıdaki bilgiler, kimimiz için yararlı olabilirken, kimimiz için yetersiz olabilir. Bu durum içine affınıza sığınırım. Amacım kriptografi hakkında genel bir bilgi verip, ilgi duyan ve türkçe kaynak sıkıntısı çekenlerimize, en azından temel anlamda bir şeyler oturtması için yardımda bulunmaktır. Umarım en az bir kişi için bir faydası olmuştur. 

Kaos Teorisi

Kaos teorisi, sayısal bilgisayarların ve onların çıktılarını çok kolay görülebilir hale getiren ekranların ortaya çıkmasıyla gelişti ve son on yıl içinde popülerlik kazandı. Ancak kaotik davranış gösteren sistemlerde kestirim yapmanın imkansızlığı bu popüler görüntüyle birleşince, bilim adamları konuya oldukça kuşkucu bir gözle bakmaya başladılar. Fakat son yıllarda kaos teorisinin ve onun bir uzantısı olan fraktal geometrinin, borsadan meteorolojiye, iletişimden tıbba, kimyadan mekaniğe kadar uzanan çok farklı dallarda önemli kullanım alanları bulması ile bu kuşkular giderek yok olmaktadır.
Teoriye temel oluşturan matematiksel ve temel bilimsel bulgular, 18.yüzyıla, hatta bazı gözlemler antik çağlara kadar geri gidiyor. Yunan ve Çin mitolojilerinde yaradılış efsanelerinde başlangıçta bir kaosun olması rastlantı değil. Özellikle Çin mitolojisindeki kaosun, bugün bilimsel dilde tanımladığımız olgularla hayret verici bir benzerliği olduğunu görüyoruz. Batı’da da daha sonraki dönemlerde bilim adamları tarafından karmaşık olgulara dair gözlemler yapılmıştır. Poincare, Weierstrass, von Koch, Cantor, Peano, Hausdorff, Besikoviç gibi çok üst düzey matematikçiler tarafından bu teorinin temel kavramları oluşturulmuştur.
Karmaşık sistem teorisinin ardında yatan yaklaşımı felsefe, özellikle de bilim felsefesi açısından inceleyecek olursak, ortaya ilginç bir olgu çıkıyor. Aslında bugün pozitif bilim olarak nitelendirdiğimiz şey, batı uygarlığının ve düşünüş biçiminin bir ürünüdür. Bu yaklaşımın en belirgin özelliği, analitik oluşu yani parçadan tüme yönelmesi (tümevarım).
Genelde karmaşık problemleri çözmede kullanılan ve bazen çok iyi sonuçlar veren bu yöntem gereğince, önce problem parçalanıyor ve ortaya çıkan daha basit alt problemler inceleniyor. Sonra, bu alt problemlerin çözümleri birleştirilerek, tüm problemin çözümü oluşturuluyor. Ancak bu yaklaşım görmezden gelerek ihmal ettiği parçalar arasındaki ilişkilerdir. Böyle bir sistem parçalandığında, bu ilişkiler yok oluyor ve parçaların tek tek çözümlerinin toplamı, asıl sistemin davranışını vermekten çok uzak olabiliyor.
Tümevarım yaklaşımının tam tersi ise tümdengelim, yani bütüne bakarak daha alt olgular hakkında çıkarsamalar yapmak. Genel anlamda tümevarımı Batı düşüncesinin, tümdengelim i Doğu düşüncesinin ürünü olarak nitelendirmek mümkündür. Kaos yada karmaşıklık teorisi ise, bu anlamda bir Doğu-Batı sentezi olarak görülebilir. Çok yakın zamana kadar pozitif bilimlerin ilgilendiği alanlar doğrusallığın geçerli olduğu, daha doğrusu çok büyük hatalara yol açmadan varsayılabildiği alanlardır. Doğrusal bir sistemin girdisini x, çıktısını da y kabul edersek, x ile y arasında doğrusal sistemlere özgü şu ilişkiler olacaktır:

Bu özellikleri sağlayan sistemlere verilen karmaşık bir girdiyi parçalara ayırıp her birine karşılık gelen çıktıyı bulabilir, sonra bu çıktıların hepsini toplayarak karmaşık girdinin yanıtını elde edebiliriz. Ayrıca, doğrusal bir sistemin girdisini ölçerken yapacağımız ufak bir hata, çıktının hesabında da başlangıçtaki ölçüm hatasına orantılı bir hata verecektir. Halbuki doğrusal olmayan bir sistemde y’yi kestirmeye çalıştığımızda ortaya çıkacak hata, x’in ölçümündeki ufak hata ile orantılı olmayacak, çok daha ciddi sapma ve yanılmalara yol açacaktır. İşte bu özelliklerinden dolayı doğrusal olmayan sistemler kaotik davranma potansiyelini içlerinde taşırlar.
Kaos görüşünün getirdiği en önemli değişikliklerden biri ise, kestirilemez determinizmdir. Sistemin yapısını ne kadar iyi modellersek modelleyelim, bir hata bile (Heisenberg belirsizlik kuralı’na göre çok ufak da olsa, mutlaka bir hata olacaktır), yapacağımız kestirmede tamamen yanlış sonuçlara yol açacaktır. Buna başlangıç koşullarına duyarlılık adı verilir ve bu özellikten dolayı sistem tamamen nedensel olarak çalıştığı halde uzun vadeli doğru bir kestirim mümkün olmaz. Bugünkü değerleri ne kadar iyi ölçersek ölçelim, 30 gün sonra saat 12′de hava sıcaklığının ne olacağını kestiremeyiz. Bu görüş paralelinde ortaya konan en ünlü örnek ise Kelebek Etkisi denen modellemedir. Bu modelleme, en basit haliyle şu iddiayı taşır : “Çin de kanat çırpan bir kelebek ABD de bir fırtınaya neden olabilir”.
  


Kelebek Etkisi

Kelebek Etkisi, bir sistemin başlangıç verilerindeki ufak değişikliklerin, büyük ve öngörülemez sonuçlar doğurabilmesine verilen isimdir. İsmi, Edward N. Lorenz’in hava durumuyla verdiği örnekten geliyor: Amazon Ormanları’nda bir kelebeğin kanat çırpması, Avrupa’da fırtına kopmasına sebep olabilir.
Kelebek Etkisi’ni 1963 yılında Edward N. Lorenz bilgisayarıyla hava durumuyla ilgili hesaplar yaparken buldu. İlk hesaplamasında 0,506127 sayısını başlangıç verisi olarak kullandı. İkinci hesaplamada ise 0,506 sayısını verdi. İki sayı arasında sadece yaklaşık 1/1000 (binde bir), yani bir kelebeğin kanat çırpmasının yarattığı rüzgarla eşdeğerde fark olmasına rağmen, süreç içinde ikinci hesap birinci hesaba karşın çok farklı neticeler verdi.
Not: Lorenz’in 1963 de yayınlanan orijinal araştırması bir martının kanadını çırpmasının, hava durumunu sonsuza dek değiştireceğinden bahsetmektedir. Daha sonra verdiği konferanslarda Lorenz martıyı daha romantik olan kelebek ile değiştirdi. Ayrıca binde birlik fark ile kelebeğin kanat çırpmasının yarattığı rüzgarın arasında bilimsel bir ilişkinin olduğundan bahsettiğini zannetmiyorum, bu sebeple eşdeğer kelimesi yukarıdaki paragrafta doğru kullanılmamıştır. Aşağıdaki resim, Lorenz differensiyal denkelerinin AB-3 metodu kullanılarak simule edildikten sonra x ve z eksenlerinin birbirne karşı çizilmesi ile elde edilmiştir. Bu sonuç bir çok kişi tarafından bir kelebeğe benzetilmektedir 
  

Şifrelemenin Tarihi 
  
Heredot’un anlattıklarına göre eski Yunan’da şifreli bir mesaj gönderilmek istendiğinde, kölelerin kafa derisi üzerinde mesajlar aktarılmaktaydı. Önce bir kölenin kafası traş edilir, daha sonra da ilgili mesaj kafasına kazınır ve saçlarının uzaması beklenirdi. Birkaç ay sonra da köle, hedefine doğru yola çıkar ve gittiği yerde tekrar kafası traş edilerek mesaj okunurdu.
Artık ne kölelerimiz ne de aylar boyu bekleyecek zamanımız var. Ayrıca pek zarif bir fikir olmayan bu yöntem yerine gelişen zaman içerisinde pek çok yeni yöntem keşfedilmiştir. Örneğin Roma imparatoru Julius Sezar generallerine gönderdiği mesajların okunmaması için üç yana kaydırma mantığını kullanan bir şifreleme yöntemi geliştirmiştir. Sezar, mesajlarındaki yazılarda, örneğin “A” harfi yerine “D”, “B” harfi yerine “E” kullanmaktaydı. Oldukça basit ve hedefine ulaşan bu yöntem o çağın şartları için yeterli olmuştur.
Gelişen zaman içerisinde değişen şifreleme yöntemleri birbirini izlemiş, kimi zaman çözülen bir şifre imparatorlukların kaderini değiştirmiştir. Örneğin 1587 yılında İngiliz Kraliçesini devirmek için adamlarıyla haberleşmede kullandığı basit değiştirme yöntemi çözülen İskoçya Kraliçesi, bu hatasını idam edilerek ödemiştir.
1. Dünya savaşında Almanların çözmemesi için bir Amerikan Telefon ve Telgraf şirketinden bir çalışan olan Gilbert Vernam tarafından hazırlanan “bir kerelik bloknot” yöntemi, savaş boyunca Amerika Birleşik Devletleri’nin mesaj güvenliğini sağlamıştır. Bu sistemde şifrelenecek metin ASCII kodundaki karakterlere dönüştürülür ve bir kez şifreyi çözmede kullanılacak gizli anahtar, mesajı okuyan kişi tarafından imha edilirdi. Böylece tek seferlik mesajlaşmalar güvenli bir iletişimi oluştururdu.
2. Dünya savaşında ise filmlere konu olan Enigma makinesi Almanların en güvendiği şifreleme tekniğiydi, ta ki; Ruslara esir düşen bir Alman savaş gemisinde ele geçirilen Enigma makinesinin İngilizlere şifre kırıcılar tarafından çözülmesi, savaşın kaderini değiştirmiştir. Almanların tüm haberleşmesini dinleyen İngilizler, bu bilgi ile uzun süre Almanların ne yapacaklarını erkenden öğrenip ona göre taktik hazırlama şansına sahip olmuşlardır.
Enigma makinesi temel olarak; klavyesinden girilen karakterlerin makine içerisinde birbiri ile değişik şekillerde algoritma oluşturacak şekillerde yazıları kodlayan üç adet diskten oluşmaktaydı. Enigma’daki diskler Almanlar tarafından önce 5’e ve daha sonra da 8’e çıkarılmıştır. Ancak büün bu tedbirler İngilizlerin ilk bilgisayarların atalarından olan, IBM bilgisayar sistemi ile kodları çözmesini engelleyemedi.
Enigma’nın şifresinin çözülmesi ile bilgisayarları yakınlaştıran bu süreç, sonraki zamanlarda bilgisayarların şifreleme işlemlerinde daha çok kullanılması ve günümüzde de vazgeçilmez bir parçası olma durumunu getirmiştir.
Günümüz bilgisayar destekli şifreleme teknikleri oldukça, yüksek bilgi gerektiren karmaşık güvenlik önlemleriyle yoğrulmuş teknikler içerir. Her biri bir öncekinden daha güvenli olduğunu iddia ederken, her geçen gün bir öncekinin nasıl şifresinin nasıl kırıldığına şahit olmaktayız. Dolayısıyla öğrendiğimiz temel yöntem teorik olarak hiçbir şifreleme yönteminin kırılamaz olmadığı ve sonlu bir süre sonunda şifresinin çözüleceğidir. Belki 1 ay belki 1000 ay sonra ama mutlaka tüm şifrelerin çözülebileceği unutulmaması daima tavsiye olunmakta.
Bu yazıda bu şifreleme yöntemlerinden biz kullanıcılar için en etkili kullanılacak alan olan evimizdeki, işyerimizdeki dosya ve klasörlerimizin şifrelenerek korunmasıyla ilgili yazılımlardır. Her birimizin basit ve kullanışlı bir teknikle, şüpheli gözlerden saklanmasını isteyeceğimiz dokümanlar bulunabilir. Örneğin işyerindeki bir satış raporu, veya sevgilimize yazdığımız bir şiirin, bilgisayarımızı kullanan diğer kişilerce görünmesini istememek en doğal hakkımız!
Yalnız dikkat edilmesi gereken en temel nokta, hangi programı kullanırsak kullanalım, şifrelemekte kullandığımız bir parola mutlaka olacaktır. Bu parolayı asla unutmamalı ve başkalarının görebileceği ortalık bir yerde bulundurmamalıyız. Yoksa bütün bu karmaşık matematiksel formüllere dayanan şifreleme mantığının temelinde yatan “insan” faktörü devreye girer ve şifremiz çözülür! 
  
Klasik Şifreleme Teknikleri 
Tarih içerisinde değişik teknikler kullanılarak şifreli mesajlar iletilmeye çalışılmıştır. Bir dönem uygulanan kölelerin kafasına kazılan yazılarla mesajlaşma haricinde, şu teknikler de kullanılmaktaydı;
Harf İşaretleme: Bir yazı içerisindeki bazı karakterlerin daha derin kazılmasıyla ancak belli bir açıdan gelecek ışıkla okunan yazılar.
Görünmez Mürekkep: Belirli bir ısıda veya kimyasal bir sıvıya batırılarak okunur hale gelen yazılar.
İğne Delikleri: Yazıdaki belirli karakterler iğne ile delinerek işaretlenmesi temeline dayanıyordu.
Sezar Tekniği: Bilinen en eski “yerine koyma“ tekniğidir. Her harf alfabedeki kendinden üç sonraki harfin yerine konularak yazışmalar yapılmaktaydı 
  
Aşkın sayı
  
Matematikte cebirsel olmayan herhangi bir reel sayıya aşkın sayı denir. Diğer bir deyişle, katsayıları tamsayı (ya da rasyonel) olan bir polinomun kökü olamayan reel sayılara aşkın sayı denir. Buradan, tüm aşkın sayıların irrasyonel olduğu sonucuna varılabilir. Ancak tüm irrasyonel sayılar aşkın sayı değildir, örneğin ?2 irrasyoneldir, ancak x2 – 2 = 0 polinomunun bir köküdür. 

MATEMATİK NEDİR ?

Matematik Nedir? ((Matematik Tanımları))

Hayatımızda matematiğin yerini, matematiğin ne işe yaradığını, nerelerde kullanabileceğimizi düşünmeden önce matematiğin tanımını seçip; tanımlayabildiğimiz matematiğe uygun bir düşünce sistemi oluşturmamız gerekir. Matematiğin tanımını seçmek denilince akıllarda bir ikilem oluşması olasıdır. Matematiğin tek bir tanımı yoktur ne yazık ki. Aslında size tavsiyem kendi tanımınızı oluşturmanızdır. Benim aşağıda vereceğim tanımlar sadece kendi tanımınıza örnek olacaktır.
·      Matematik sayı ve uzay bilimidir.
·     Matematik, tüm olası örüntülerin incelenmesidir. (Sawyer)
·     Sayı ve miktarla ilgili düşüncelerle çalışmak matematiğin özü değildir. Matematik, kullanılabilecek yollardan bağımsız olarak kendi içinde hesaba katılan işlemlerle ilgilidir. (Boole) 
·     İnsanların öğrenmeleri gereken kapalı bir sistemdeki matematik değildir. Önemli olan, bir etkinlik olarak gerçeği matematikleştirme sürecidir  ve eğer olanaklıysa matematiğin bile matematikleştirilmesidir.(Freudenthal)
·     Aritmetik ve geometri, gerçeğin matematikleştirilmiş parçasından doğmuştur. Fakat sonra, en azından Antik Yunan’dan başlayarak, matematiğin kendisi matematikleştirmenin öznesi olmuştur.’ (Freudenthal)
·      Matematik, çevresini bağımsız olarak düzenleyen, organize eden ve denetleyen işlemlerin özellikleri ile ilgilidir. (Peel)
·     Teorik matematik bütünüyle şunun gibi bildirimleri içerir. Eğer bu ve bunun gibi bir önerme doğruysa, o zaman bu ve bunun gibi başka bir önerme de doğrudur. İlk önermenin gerçekten doğru olduğunu tartışmamak ve doğru olacağı varsayılan herhangi bir şeyden bahsetmemek gereklidir. Eğer varsayımımız herhangi birşey hakkındaysa ve bir diğer özel şey hakkında değilse, bu durumda çıkarımlarım matematiği oluşturur.Böylece matematik, ne hakkında konuştuğumuzu hiç bir zaman bilemediğimiz ve konuştuğumuz şeyin doğru olup olmadığını bilemediğimiz bir konu olarak tanımlanabilir.’ (Russell)
·     Matematiğin konusu sayılar, şekiller, kümeler, fonksiyonlar, uzaylar gibi soyut kavramlar ve bunların arasında ki ilişkilerdir. Matematikçi bu varlıkların yapılarını, özelliklerini inceler ve bunlarla ilgili genellemeleri ortaya çıkarır.

MATEMATİK VE DOĞA


MATEMATİK VE DOĞA
 Hayatımızda matematiğin yerini, matematiğin ne işe yaradığını, nerelerde kullanabileceğimizi düşünmeden önce matematiğin tanımını seçip; tanımlayabildiğimiz matematiğe uygun bir düşünce sistemi oluşturmamız gerekir. Matematiğin tanımını seçmek denilince akıllarda bir ikilem oluşması olasıdır. Çünkü matematiğin tanımını yapmak olanaksız değildir ama hala herkesçe kabul gören bir tanımı, beklide bir tanım cümlesine sığdırılamayışından ötürü yapılamamıştır. Bu sebepten ötürü her kitapta farklı bir tanımla karşılaşırız. Bu tanımlardan en uygununu seçebilir ya da kendi tanımımızı kendimiz oluşturabiliriz.

Matematiği tanımlamak bir süreçtir bu süreç içerisinde en iyi tanımı orta koyabilmek için matematiğin doğada olan bir şey mi, yoksa insanların sonradan ürettikleri bir şey mi olduğuna karar vermemiz gerekir. Kısacası matematik ile doğa arasında ki iş birliğini aydınlatmamız gerekir. Bir düşünceye göre matematik doğada yoktur ve tamamen insanların uydurması olan matematik kavramları doğaya adapte edilmeye çalışılmaktadır. Bu düşüncede birçok matematik kavramının doğada olmadığı gösterilerek matematiğin doğadan geldiği düşüncesi çürütülmeye çalışılır. Özellikle doğada sonsuz kavramının olmadığı şöyle açıklanır. Doğada “sonsuz” yoktur. Yaşadığımız evren sonludur. Evrendeki molekül, atom, foton sayıları sonludur. Kimse sonsuza kadar sayamaz, kimse sonsuzu gösteremez, kimse sonsuza gidemez, kimse sonsuzda olduğunu düşünemez. Düşlerimiz bile sonluda yer alır. (Nesin, 1995:146) Bunun gibi noktanın, doğru parçasının, bir sayısının, sıfır sayısının, pi sayısının vb. matematik kavramlarının soyut olmasından yola çıkarak olmadığı mantıklı bir şekilde açıklanmaya çalışılır.

Matematiğin doğadan gelmediğini savunan düşünceye karşı savunulan; matematik doğada zaten vardır sadece insanlar bunu keşfetmektedirler düşüncesidir. Bu düşünce o kadar ağır basamaktadır ki çok iyi ve kaliteli savlar öne çıkmaktadır. Yazının geri kalanında matematiğin doğadan geldiğini ispatlayan bu savlardan bahsedeceğiz. İlk önce matematiğin doğadan gelmediğine dair düşüncede ortaya atılan savlarla aynı düşünce yapısında şu örnekle işe başlayalım. İnsan olmasaydı yerçekimi yasası bulunamazdı, ama bundan yerçekiminin olmadığı sonucu çıkmaz, hatta yerçekimi yasasının da insansız olamayacağı çıkmaz. (Nesin,1995:148). Görüldüğü gibi bu düşüncede matematiğin tıpkı bir yer çekimi gibi doğada olduğu, insanların bunu bulduğu anlayışı örneklendirilmiştir. Hatta insanlarda olmasaydı matematik yine olmaya devam edecekti.

İnsan yeryüzüne yaşamaya geldiği andan itibaren birçok sorunla karşılaşmıştır. Fizyolojik gereksinimlerini gideren insanoğlu güvenliğini sağlama girişiminde bulunmuştur. Daha sona sosyalleşmiş ve toplu yaşama gereksinimini gidermiştir. Bu süreçler içerisinde matematiği ne kadar kullansa da gerekliliğini ve ayrıca varlığını tam olarak belirleyememiştir. Sosyal yaşam yeni bir takım kavram ve gereksinimler (ticaret, tarım, paylaşma, yaşam yeri inşaatı, vb.) doğurmuştur. Bu gereksinimlerin yanı sıra gökyüzündeki cisimlerin hareketi, doğa olayları gibi doğaüstü görünen birçok olayın bilimsel açıklaması matematikle yapılabilmiştir. Evrenin mükemmel düzeninin içinde bir matematik olduğu anlaşılmıştır. Tarih öncesi zamanlardan beri bilinen bu gerçek çağımıza daha gelişmiş bir teknoloji ile yansımıştır.

Matematiğin doğada varlığını göstermede direkt doğanın yarattığı doğal olgulardan yararlanılabilir. İlk olarak doğadan geliştirilerek matematiğe katılan Fraktal kavramından bahsedebiliriz. Beyin enerjimizi matematik bilimine yöneltmemizin nedeni evreni izah etme kaygısı değil. Ama bu bilgilerle daha sonra doğaya baktığımızda bu sonuçların onun içinde ta başından beri var olduğunu görüyoruz. Etrafımızda var ola gelen ama bizim yakın zamana kadar görmesini bilemediğimiz geometrik gerçeklerden biri de fraktalar; öyle bir cisim olsun ki hangi noktasını alırsak alalım büyütüp baktığımızda yine başlangıçtaki şekille karşılaşalım ve bu işleme ne kadar devam edersek edelim aynı olay tekrarlansın. İşte Fraktal, yani kendine benzerlik kavramının tanımı bu. Aslında doğa aynı doğa. Değişen tek şey matematiğin algıladığı değiştirme gücümüz. (Sertöz, 1996:41–42) Görüldüğü gibi Sayın Sertöz Fraktal kavramını doğaya atıfta bulunarak tanımlıyor.

Matematiğin doğadan bir başka örneği ise arıların bal yapma çalışmaları sonucu tamamen içgüdüsel yollarla oluşturdukları peteklerin incelenmesiyle ortaya çıkıyor. Peteklere bakıldığında her boşluğun bir düzgün altıgen olduğu görülüyor. Her noktanın oluşumunda üç ayrıt yüz yirmi derece açıyla birleşiyor. Bu sebeple çok sağlam bir yapı olduğu ortaya çıkıyor. Eğer bu petek şeklindeki yapı karton, pvc, alüminyum gibi materyallerden yapılırsa hafif, dirençli ve dayanıklı malzemeler üretilir. Bu ana fikirden yola çıkarak Airbus A380 uçağının gövdesinde, hızlı trenlerin vagonlarında ve uyduların dış cephelerinde kullanılmaktadır. Görüldüğü gibi doğadan gelen bilgi işlenerek insanoğlunun kullanımına sunulmuştur.

Fibonacci sayıları da doğada olan matematiği açıklamaktadır. Fibonacci dizisi bir ve bir ile başlayıp kendinden önceki iki sayının toplamıyla ilerleyen sayı dizisidir. Burada doğadan materyaller seçerek onların üzerindeki elemanların oluşturduğu sarmallar bir saat yönünde bir de ters yönde sayımıyla ortaya çıkan iki sayınında Fibonacci dizisinin ardışık sayıları olduğu ortaya çıkar. Örneğin ayçiçeği üzerindeki tanelerin oluşturduğu spiraller bir yönden sayısı 55 ise ters yönden 34 veya 89 dur. Bu çam kozalağında 5 ve 8 olarak ortaya çıkar. Ya da muzun üzerindeki boğumları saydığımızda dışarıdan 5 boğum varsa, kabuğun içinden 8 boğum olduğu görülür. Bu daha da genişletilebilir örneğin ananas, tütün bitkisi vb. görüldüğü gibi doğada var olan matematik açığa çıkmaktadır.

Eskiçağ sanatçılarının bulduğu bir geçekten bahsedelim. Sanatçılar gülünç heykeller yapmamak için olsa gerek ideal insanın ölçülerinin belli bir orana dayandığını bulmuşlardır. Yani boy uzunluğunun göbekten ayakuçlarına olan uzunluğa oranı, göbekten ayakuçlarına olan uzunluğunun göbekten başucuna olan uzunluğa olan oranına eşittir. Bu orana altın oran denmektedir ve 1.618… dir. Bu oran aynı şekilde yüzde de yanak ve kulak uçları arasında ve göz çukurların arasında vardır. Aralarında Mona Lisa tablosunun da bulunduğu pek çok eserin tuvalin içine bu oran gözetilerek yerleştirildiği iddia edilir. Sessiz sinemanın ünlü yönetmeni Eisenstein, Potemkin Zırhlısı filmindeki dramatik öğeleri altın orana göre yerleştirdiğini söyler. (Sertöz, 1996:65) 

Matematiğin hiç yoktan var edilmediği görülmektedir. Zaten hiçbir şeyin yoktan var edilmediği bilinen bir gerçektir. Herhangi bir düşünce ne kadar soyut olursa olsun somut bir esinlenmeden oluşmuştur. Bu açıdan bakıldığında, yukarıdaki örnekler ve yukarıda yer almayan daha spesifik örnekler göz önüne alındığında rahatça matematiğin kaynağının doğa olduğu söylenebilir. Matematiğin soyut olması onunun doğal olmadığı anlamına gelmez. Sanatta olsun, bilimde olsun, felsefede olsun her soyut düşüncenin kaynağı doğadır, evrendir, bizim dışımızdaki dünyadır. Bunun tersini düşünmek yoktan bir şeyin var olabileceğini düşünmek olur. (Nesin, 1995:151)

Soyut matematik birebir uygulanma amacıyla ortaya çıkmamıştır. Eski matematikçiler matematik üzerine cilt cilt kitaplar yazıp matematik üzerine düşünce sistemleri geliştirirken bunların teknolojik gelişmelerin temelini oluşturacağını iddia etmemişlerdi. Fakat günümüz gelişen ve küreselleşen teknolojisinde matematiğin uygulanmadığı hiçbir teknik alan kalmamıştır. Doğanın bir parçası olan insanoğluna yaşamını kolaylaştırıcı birçok ürün matematik sayesinde verilmektedir. 


Matematiğin doğada olduğunu savunmaya devam ederken birçok örnekten ve kavramdan yararlandık. Matematikteki her kavramı doğada arama girişimi de gereksizdir. Çünkü bazı kavramlar birçok kavramı kendi içerisinde barındırabilir. Örnek verirsek asal sayı kavramı sayılar kavramı içinde yer alır. Asal sayıyı tanımlamazsanız olmaz çünkü farklı özellikleri vardır. Bir de bazı kavramlar birleşerek yeni kavramları oluşturabilirler. Örnek verirsek doğru ve çember kavramlarından eğri kavramı, eğri kavramından süreklilik, limit ve türev kavramları doğar. Bu örneklerden sonra doğada tüm matematik kavramların birebir olması gerektiğini düşünmemize gerek kalmaz.

Matematik, matematikçilerden ve insanlardan bağımsız olarak vardır. Pisagor dik üçgenleri yaratmamıştır, keşfetmiştir. Galois, gupları yaratmamıştır, keşfetmiştir. Hilbert, Hilbert uzaylarını yaratmamıştır, keşfetmiştir. (Nesin, 1995:158) Görüldüğü gibi matematik yaratma sürecinden çok doğanın fısıldadığı gerçekleri keşfetme sürecidir. Matematiğin tanımını yaparken doğanın etkisini dışarıda bırakan tanımlar her zaman eksik tanımlar olmaya mahkûmdur. Ayrıca matematiğin bir doğa yorumu olduğunu da söyleyebiliriz. Doğanın fısıltıları yorumlanarak birçok kavram oluşturulmaktadır. Son sözü matematiğin kaynağının bir matematikçi olmadığını söyleyen G. H. Hardy’e bırakıyorum: Benim için ve sanırım çoğu matematikçiler için “matematiksel gerçek” diye tanımlayabileceğim başka bir gerçek vardır. Bu matematiksel gerçeğin niteliği hakkında gerek matematikçiler, gerek felsefeciler arasında herhangi bir uzlaşma yoktur. Bazılarına göre “zihinsel”dir ve onu bir bakıma biz yaratırız; diğerleri ise onun bizim dışımızda ve bizden bağımsız olduğu kanısındadır. Matematiksel gerçeğin ne olduğunu, inandırıcı bir şekilde açıklayabilecek bir kimse metafiziğinin en zor problemlerinin çoğunu çözmüş olurdu.(…) Benim inancıma göre matematiksel gerçeklik bizim dışımızdadır; bizim işlevimiz onu bulup çıkarmak ya da gözlemektir; ispatladığımızı veya tumturaklı sözlerle yarattığımızı söylediğimiz teoremler; gözlemlerimizden çıkardığımız sonuçlardan ibarettir. Bu görüş Platon’dan bu yana birçok ünlü filozof tarafından da benimsenmiştir.(Hardy, 1994:95)
  Kaynakça
·        Hardy, G. H., Bir Matematikçinin Savunması. Bölüm 22, Çeviren Nermin Arık, Tübitak Popüler Bilim Kitapları Dizisi 3, 1994.
·        Nesin, A., Matematik ve Doğa. Birinci basım. Düşün Yayınları, 1995
·        Nesin, A., Matematik ve Sonsuz. Birinci basım. Nesin Yayıncılık Ltd., 2007
·        Nesin, A. Matematik ve Oyun. Birinci basım. Nesin Yayıncılık Ltd., 2007
·        Sertöz, S., Matematiğin Aydınlık Dünyası.Yirmi üçüncü basım. Tübitak Popüler Bilim Kitapları Dizisi 36, 1996
·        Altun, M., Matematik Öğretimi.Alfa Yayıları, Bursa, 2001.
·        Pesen, C., Yapılandırmacı Öğrenme Yaklaşımına Göre Matematik Öğretimi. Dördüncü basım. Pegem Akademi Yayıncılık, 2000.

MATEMATİĞİN DOĞUŞU

MİLATTAN ÖNCE
Matematik sözcüğü, ilk kez, M.Ö. 550 civarında Pisagor okulu üyeleri tarafından kullanılmıştır.
Yazılı literatüre girmesi, Platon’la birlikte, M.Ö. 380 civarında olmuştur
matematiğin M.Ö. 3000-2000 yılları arasında Mısır ve Mezopotamya’da başladığını söyleyebiliriz.
Herodotos’a (M.Ö. 485-415) göre matematik Mısır’da başlamıştır
3000 Mısır Hiyeroglif denen yazı sistemi bulundu
3000 Babil’de ilk toplama makinesi kullanıldı
540 Miletli (Batı Anadolu’da liman kenti) THALES geometri okulunu kurdu ve kendi teoremini geliştirdiMatematik Tarihi Şeridi,örneği


MİLATTAN SONRA

1614 İskoçyalı John NAPİER Logaritma cetvelini ict etti
1642 Fransız matematikçi Blaise PASCAL ilk toplama makinesini icat etti
Olasılığın (prior) tanımı 1654 yılında Pascal ve Fermat arasındaki yazışmalarda formüle edildi
1855 İskoç James MAXWELL Faraday kanunlarını matematiksel olarak kanıtladı ve kendi kuramını yazdı
Meşhur Bernoulli teoremi ve binom dağılımı 1713 yılında ortaya atıldı
Minifici Logaritmorum Canonis Descripto’’logaritma cetveli tanımı ve iki ayrı trigonometri ile bütün matematik hesaplarında kolay ve çabuk kullanılmasına genel açıklaması) adlı, zamanın bilim dili olan Latince olarak kaleme alınmış eser, ilk kez 1614 yılında Edinburg şehrinde yayınlandı.

Geçmişten Günümüze Matematikçiler

Matematik doğası itibarı ile diğer tüm bilimlerin temelinde vardır. Bu kadar önemli bir bilim dalının günlük hayatımızda birçok uygulama alanı vardır. Matematik genelde soyut kavramlar üzerinden çalıştığı için çaba sarfetmeden ,düzenli bir çalışma olmadan anlaşılamaz. Eğitim sistemimizi düşünüyorumda tamamen ezbere dayalı bir matematik öğretilmeye çalışılması matematikte neden başarı gösteremediğimizin en iyi cevabıdır. Neyse burada matematiğin gelişiminde payı büyük olan matematikçilerin kısa hayat hikayelerini bulabilirsiniz.



Milattan Önce Matematik Buluşları

  • Matematik sözcüğü, ilk kez, M.Ö. 550 civarında Pisagor okulu üyeleri tarafından kullanılmıştır.
  • Yazılı literatüre girmesi, Platon’la birlikte, M.Ö. 380 civarında olmuştur
  • matematiğin M.Ö. 3000-2000 yılları arasında Mısır ve Mezopotamya’da başladığını söyleyebiliriz.
  • Herodotos’a (M.Ö. 485-415) göre matematik Mısır’da başlamıştır
  • 3000 Mısır Hiyeroglif denen yazı sistemi bulundu
  • 3000 Babil’de ilk toplama makinesi kullanıldı
  • 540 Miletli (Batı Anadolu’da liman kenti) THALES geometri okulunu kurdu ve kendi teoremini geliştirdi

Milattan Sonra Matematik Buluşları

  • 1614 İskoçyalı John NAPİER Logaritma cetvelini ict etti
  • ” 1642 Fransız matematikçi Blaise PASCAL ilk toplama makinesini icat etti
  • Olasılığın (prior) tanımı 1654 yılında Pascal ve Fermat arasındaki yazışmalarda formüle edildi
  • 1855 İskoç James MAXWELL Faraday kanunlarını matematiksel olarak kanıtladı ve kendi kuramını yazdı
  • Meşhur Bernoulli teoremi ve binom dağılımı 1713 yılında ortaya atıldı
  • “Minifici Logaritmorum Canonis Descripto’’logaritma cetveli tanımı ve iki ayrı trigonometri ile bütün matematik hesaplarında kolay ve çabuk kullanılmasına genel açıklaması) adlı, zamanın bilim dili olan Latince olarak kaleme alınmış eser, ilk kez 1614 yılında Edinburg şehrinde yayınlandı.

Thales (İ.Ö. 640-548)

Milas’lı Thales, Mısır matematik okulunun ilk öğrencisidir. Büyük bir matematik bilgini ve filozofudur. İsa’dan önce yaşayan yedi büyük bilginden en eskisi ve en ünlülerinden biridir. Hayatı hakkında kesin ve derin bilgiler yoktur.
Bir daire içine üçgen çizilmesi problemini çözümlemiştir. Ters açıların eşitliğini doğruladığı söylenir. Üçgenlerin özellikleri ve Thales bağıntıları, Mısır’daki piramitlerin yüksekliğinin bulunmasında kullanılmıştır.
Eski Yunan matematiği, öğretim yöntemlerine pek bağlı değildi. Belli okulları da yoktu. Thales, Pisagor ve Öklit, bu öğretim yöntemini ve kurallarını Yunan matematiğine getirmişlerdir.

Pyhoras (Pisagor) (İ.Ö. 596-500)

Samos’lu Pisagor’un, İsa’dan önce 596 yıllarında doğduğu tahmin ediliyor. Doğumu gibi ölüm tarihi de kesin değildir. Hayatı hakkında çok az bilgiler vardır. Bu bilgilerin birçoğu da kulaktan kulağa söylentiler biçiminde gelmiştir. Yunan filozofu ve matematikçisidir. Ülkesinde hüküm süren politik baskılardan kaçarak, İtalya’nın güneyindeki Kroton şehrine gelmiş ve ünlü okulunu burada açarak şöhrete kavuşmuştur.
Söylentilere göre, Pisagor’un matematik, fizik, astronomi, felsefe ve müzikte getirmek istediği yenilik, buluşlar ve ışıkları hazmedemeyen bir takım siyaset ve din yobazları halkı Pisagor’a karşı ayaklandırarak okulunu ateşe vermişler, Pisagor ve öğrencileri bu okulun içinde alevler arasında İ.Ö.500 yıllarında ölmüşlerdir. Pisagor’un ve öğrencilerinin yaptıklarının birçoğu bu alevler arasında yok olup gitmiştir.
Geometride, aksiyomlar ve postülatlar her şeyden önce gelmelidir. Sonuçlar bu aksiyom ve postülatlardan yararlanılarak elde edilmelidir düşüncesini ilk bulan ve ilk uygulayan matematikçi Pisagor’dur. Matematiğe aksiyomatik düşünceyi ve ispat fikrini getiren yine Pisagor’dur. Çarpma cetvelinin bulunuşu ve geometriye uygulanması, yine Pisagor tarafından yapılmıştır. Yaşayış ve inanışı, ilimle açıklama ve yorumlamayı o getirmiştir. Gerçel eksenin sayı sisteminde kullanılmasını düşünmüştür.
Pisagor’un adını 2.600 yıldır andıran, onu ünlü yapan ve insanlığın varolduğu sürece de sonsuza kadar da andıracak meşhur teoremi şudur: Bir dik üçgende, dik kenarlar üzerine kurulan karelerin alanlarının toplamı, hipotenüs üzerine kurulan karenin alanına eşittir. Pisagor teoremi, rasyonel sayılarla ölçülemeyen uzunluğun da varolduğunu gösterir.
“Evrenin hakimi sayıdır. Sayılar evreni yönetiyor.” Sözleri de Pisagor’a aittir.
Pisagor’un mistik tarafları çoktur. Evren hakkında bugünkü gerçeklere uymayan düşünceler de ileri sürmüştür. Bunları bir tarafa bırakırsak, yine yaşadığı çağa göre matematikçi yönü çok ağır basar. Pisagor, Mısır’da ve Babil’de çok gezdi. Rahiplerden ilim öğrendi. Yaşadığı çağ ve aldığı rahip eğitimini göz önüne alınırsa, bunda yadırganacak pek bir şey yoktur. Matematiğe ispat fikrini getiren Pisagor için, sosyal ve şahsi yaşantısı bu kadar eleştiriye değmez.
Pisagor’dan önce, geometride, şekillerin aralarındaki bağlılıklar gösterilmeksizin elde edilenler, görenek ve tecrübeye dayanan bir takım kurallardı. Bu nedenle, daha önce gelen bir yetkili ne demişse o sürüp gidiyordu. Pisagor’un matematiğe ispat fikrini sokması bu yüzden çok önemlidir.

Zeno (İ.Ö. 495-435)

Elea’lıdır. Zeno deyince, paradokslar akla gelir. Zeno’nun kendi kendini yetiştirmiş bir köylü çocuğu olduğu söylenir.
Zeno’ nun paradoksları:
  1. (DICHOTOMIE) Her türlü hareket olanaksızdır.
  2. (ACHILLES) Achilles, önünde ilerleyen kaplumbağayı hiçbir zaman yakalayamayacaktır.
  3. Atılan bir ok her zaman hareketsiz veya hareket halindedir.
4.   Bir zamanın yarısı, aynı zamanın iki katına eşittir.
Zeno, hıyanet veya ona yakın bir suç ile başı kesilerek öldürülmüştür. Diogenes Laertos’a göre, Zeno doğduğu şehrin tiranı tarafından işkence ile öldürüldü.
Zeno, varlığın birliğini kabul ettirmek için, haklı olarak ün yapmış kanıtlarıyla, hareketin olanaksızlığını göstermeye çalıştı. Zeno’nun paradoksları üzerine her çağın en büyük bilginleri kafa yormuşlardır. Olmayan ergi yöntemi çok erken bir tarihte bu paradokslara parlak bir biçimde uygulanmıştır.
Başlıca eserleri, ”Tabiat Üstüne” , ”Karşı Fikirler” ve Emperdokles üstüne eleştirili bir “Yorumlama” dır.

Demokritus (İ.Ö. 470-360)

Abdera’lı Demokritus, Trakya’da bir İyonya kentinin bir kolonisinde doğmuştur. Babası çok zengindi. Gezginci bir bilgin olan Demokritus’un yüz yaşından fazla yaşadığı sanılmaktadır. O zamanda, matematik, biyoloji, coğrafya, astronomi, gökbilimi, ekonomi ve sosyoloji gibi çok değişik sahalara yönelik bir bilgisi vardı.
İlk atom kuramını ortaya atmıştır. Hiç bir şey yoktan var edilemez ve var olan hiçbir şey de tümüyle yok edilemez. Var olan her şey atomlar ve bu atomların arasındaki boşluklardır. Yunan dehasının doğurduğu atomizm ve bu felsefe okulunun Leucippe’le beraber kurucusu sayılır.
Demokritus’un deli olduğunu düşünenlere, ünlü tıp bilgini Hippocrates, ”Hasta değil, pek büyük bir akıl ve deha” olduğunu söylemiştir. En küçük atomdan tutunuz da en büyük yıldıza kadar her şeyin harekette olduğunu ta o zamanlar söylerdi.
Eserlerinin birçoğu zamanımıza kadar ulaşamamıştır. “Sayılar”, ”Geometri”, ”İrrasyoneller” ve “Teğetler” belli başlı eserleridir.

Eudoxus (İ.Ö. 408?-355)

Knidos’lu Eudoxus, birçok bilgin gibi, gençliğinde çok fakirlik çekmiş biridir. Eudoxus orantılar kuramıyla Yunan matematiğini zirveye ulaştırmıştır.
Eudoxus, genç yaşlarında Tarentum şehrinden Atina’ya gitmiş, orada en iyi ve birinci sınıf matematikçi, idareci ve asker olan Archytas’ın (İ.Ö. 428-347) yanında öğrenim görmüştür.
Eudoxus, Atina’da sevilmediğini anlayınca, burayı terkederek, bugünkü Kapıdağı Yarımadasında bulunan Sızık şehrine gelerek burada tıp öğrenimi yapmıştır. Matematik dışında iyi bir hukukçu ve bir de iyi bir doktordu. Ciddi astromi çalışmalarıyla da ünlüdür. İlme çok büyük katkılarda bulunmuştur. Zamanının birçoğunu söylevler vermek ve felsefe yaparak geçirmiştir. Çağdaşlarına göre, ilmi yönüyle ve ilmi düşünceleriyle, birkaç yüzyıl ileridedir. Galile ve Newton gibi, gözleme ve deneye dayanmayan fikir, düşünce ve görüşleri hoş görmemiş ve inanmamıştır.
Eudoxus alan, hacim ve bazı cisimlerin yüzölçümlerini bulmuş ve bunlar hakkında birçok teoremin ispatını vermiştir. Gezegenlerin görünen hareketlerini açıklamış ve bu hareketlerinin dairesel olduklarını söylemiştir. Güneş saatini bulan, bir yılın 365 gün 6 saat olduğunu ortaya koyan ilk bilim adamıdır.
Bugün matematikte kullandığımız ve adına Archimedes aksiyomu dediğimiz aksiyomu yine Eudoxus’a borçluyuz. Bu da onun ünlü orantılı doğrular kuramıdır. İki doğru parçası veya iki sayı verildiğinde, en küçüğünün her zaman en büyüğünü kapsayan bir tam katı vardır. Bu aksiyom, matematik tarihinde uzun yıllar matematik çağlarının konusu olmuştur.

Archimedes (İ.Ö. 287-212)

Archimedes, babası astronom olan Fidiyas’ın oğludur. Vücut ve fikir olarak aristokrat olan soylu Archimedes,  İ.Ö. 287 yılında Sicilya Adası’nda Siraküza şehrinde doğmuştur. Archimedes’in, Siraküza kıralı II.Hieron’un akrabası olduğu söylenir. Bu nedenle, Archimedes, parasal yönüyle bir sıkıntı karşısında kalmadan zamanını ilme vermek fırsatını rahatça bulmuştur. Archimedes’in ilmi zekasını çok erken ve zamanında fark eden astronom babası, kendi ilmi bilgisiyle ona yürüyeceği ilmi yolu zamanında belirtmiş ve onu çok erken yaşlarda yönlendirmiştir.
Archimedes’e dünyadan gelip geçmiş üç büyük matematikçiden biri gözüyle bakılır. Bunlar sırasıyla, Archimedes, Newton, Gauss’tur.
Archimedes, uygulamalı ilimlere karşı büyük ilgi duyardı. Kuramsal matematiğe yaptığı hizmetlerin yanında, uygulamalı mekanikteki yaptıkları az kalır. Archimedes, halk müzesine konulabilecek en önde ve en büyük matematikçidir. Tıpkı Newton ve Hamilton gibi, hesaplarına daldığı zaman yemeklerini bile unutur yemezdi. Elbiselerine karşı Newton kadar ihmalkar ve hatta onu bile geçerdi. Garip davranışlarıyla başka büyük bir matematikçi olan Weierstrass’a benzer. Kendi halinde, kimseyle görüşmeyen bir kenara çekilmiş kendi kendine düşünen bir yapıdaydı
Dairenin alanı, çemberin uzunluğu, kürenin yüzölçümü ve hacmini ilk kez yine Archimedes hesaplamıştır. Pi sayısının hesabı yine ona aittir. Alan ve hacim hesaplamalarında bulduğu yöntemler yüzyıllar boyu hep önde götürülmüştür. En karmaşık eğrilerle sınırlı alanları ve yüzeylerle sınırlı hacimlerin bulunma yöntemini o getirmiştir. Daire, küre, parabol parçası, heliksin ardışık iki yarıçapı ve iki halkası arasında kalan alan, küresel parçalar, dikdörtgenlerin, üçgenlerin, parabollerin, hiperbollerin ve elipslerin asal ekseni etrafında döndürülmesinden oluşan yüzeyleri ve hacimleri bulmada, bulduğu bu yöntemi uygulamıştır. Silindir, koni, paraboloid, hiperboloid ve özel haller yine bu yöntemle yüz ölçüm ve hacim olarak hesaplanmıştır.
Newton ve Leibnitz’den 2.000 yıl kadar önce yaşayan Archimedes integral hesabını bulmuş ve problemlerinin birinde onların bulduğu diferansiyel hesaba başvurmuştur. Bu “sonsuz küçükler hesabı” dır. Archimedes yayını bugünkü dille söylersek, bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, bu eğrinin bu noktadaki türevine eşittir.
Archimedes’in hayatı, tüm olanakları yerine getirilen bir matematikçinin hayatı kadar sakin ve düzenli geçmiştir. Hayatının en karışık zamanı ve acıklı olanı son günlerine rastlar. Bu da Roma’lılarla  Kartaca’lılar arasında İ.Ö. 264-146 yılları arasında yapılan Pön savaşları dönemine rastlar.
Archimedes, yere çizdiği şekil üzerinde bir matematik problemini çözmeye uğraşıyordu. Bir söylentiye göre, Roma’lı asker şeklin üzerine yürümüş ve Archimedes‘i kızdırmıştır. Bunun üzerine Archimedes’in, ”Aman daireme dokunma, bozma” diyerek yeniden probleme daldığı söylenir. Yine bir söylentiye göre, Archimedes Roma Şefi Marcellus’un yanına gitmek üzere kendisini izlemesini emreden askere, problemi bitirmeden kalkmayacağını söylemiştir. Problemin çözümünün uzun sürmesine canı sıkılan ve kızan asker, şanlı kılıcını çekmiş ve yetmiş beş yaşındaki yaşlı ve silahsız koca geometriciyi İ.Ö. 212 yılında canice öldürmüştür. İşte, bu büyük deha böyle yok edilmiştir.
Archimedes’in öldürülmesi her ne şekilde olursa olsun, ilim ve insanlığın beklediği medeniyet adına bunda daha büyük bir vahşet ve canilik görülmemiştir.

Öklid (İ.Ö. 300)

Yunan matematikçisi. Gelmiş geçmiş matematikçiler içinde adı geometriyle en çok özdeşleştirilen kişidir. Öklid, geometri dünyasında kapladığı bu seçkin yerini kendisinin büyük matematikçi olmasından çok, başlangıcından kendi zamanına kadar bilineni “Öğeler” adını verdiği kitaplarda toplamasına borçludur. Öğeler, dilden dile çevrilmiş, yüzlerce kez kopya edilmiştir, matbaanın icadından sonra da binlerce kez gözden geçirilmiş ve yeniden basılmıştır. Öklid derlemesinin tutarlı bir bütün olmasını sağlamak için, kanıt gerektirmeyen apaçık gerçekler olarak beş aksiyom ortaya koyar.
Öklid’in beş aksiyomu şunlardır:
  1. İki noktadan yalnız bir doğru geçer.
  2. Bir doğru parçası iki yöne de sınırsız bir şekilde uzatılabilir.
  3. Merkezi ve üzerinde bir noktası verilen bir çember çizilebilir.
  4. Bir doğruya dışında alınan bir noktadan bir ve yalnız bir paralel çizilebilir.
  5. Bütün dik açılar birbirine eşittir.
Öğeler on üç kitaptan oluşmaktadır. Öklid geometrisi 19.yüzyıla kadar rakipsiz kaldı. Öklid’in yaşamı hakkında hemen hemen hiçbir şey bilmiyoruz.

Apollonius (İ.Ö. 260?-200? 170?)

Zamanında çok bilinmeyen, fakat 1600 yıllarında değeri anlaşılan Yunan matematikçilerinden biri de Bergama’lı Apollonius’tur. Eski devirlerin en büyük matematikçilerinden biridir. İ.Ö. 267 veya 260 yıllarında, Pamfiye denilen Teke Sancağının Perga kentinde dünyaya gelmiştir.
Matematikçi Pappus, Apollonius’un, bencil, üne düşkün, kibirli ve gururlu birisi olduğunu yazmaktadır. Apollonius’un yaptığı çalışmalar ve buluşları onun bu zayıf taraflarını örtecek kadar kuvvetlidir. Çarpmaya ait birçok buluşu vardır. Koniklere ait buluşları onu şöhretin zirvesine çıkarmıştır.
Euclides geometrisini benimseyerek onu daha ileri düzeylere götürmüştür. Teorik ve sentetik geometrici olarak 19. yüzyıldaki Steiner’e kadar Apollonius’un bir eşine daha rastlanamaz. Konikler adı altında bugün bildiğimiz elips, çember, hiperbol ve parabol kesişimlerine ait problemlerin birçoğu Apollonius tarafından bulunmuştur. Doğrular, çemberler ve eğrilerin konikler üzerine araştırma yapmıştır. Yine, analitik geometri özelliklerinden hemen hemen tümünü Apollonius’a borçluyuz.
Dairesel tabanlı ve tepesinin her iki tarafından sonsuza kadar uzatılmış bir koni bir düzlemle kesilirse, düzlemle koni yüzeyinin kesişimi olan eğri, doğru, çember, hiperbol, elips veya parabol olacağını ilk kez Apollonius göstermiştir. Merminin yörünge denkleminin bir parabol olacağı yine Apollonius tarafından bulunmuştur.
Pergel ve cetvel yardımıyla üç çembere teğet çizme, Apollonius problemi olarak bilinir. Yine, sabit iki noktaya olan uzaklıkları oranı sabit olan noktaların geometrik yeri, bu sabit noktaları birleştiren doğru parçasını, verilen orana göre içten ve dıştan bölen noktalar arasındaki uzaklığı çap kabul eden bir çemberdir.

Hipparchus (İ.Ö. 160-125)

Hipparchus, Yunan’lı matematikçi ve astronomdur. İlk sistematik astronomi ve trigonometriyi bulan kimsedir. Ekinoks noktalarının değişimi olayını bulmuştur. Binden fazla yıldız için bir katalog yaparak, Güneş ve Ayın uzaklığını hesaplamıştır. Enlem ve boylam daireleriyle, Dünya’daki herhangi bir noktanın konumunu belirtme yöntemini bulmuştur.

Harezmi  (780-850)

Tam adı Muhammed Bin Musa el-Harezmi olan bu büyük bilim adamı, Horasan’da doğmuştur. Bugünkü cebir ve trigonometrinin kurucusu sayılır. Avrupa’lıların en çok yararlandığı bir matematikçidir.
Cebir üzerine çok sayıda eser verdi. Descartes’e kadar batı bilim dünyasında egemen olan Harezmi ve Harezmi cebiriydi. Bu nedenle Harezmi dünya çapında bir matematikçidir. En önemli eseri, ”Cebir ve Mukayese Hesabı” dır. Deneyler,  enlem ve boylam kitapları vardır. Bir de gökyüzü atlası vardır. Hindistan matematiğini dünyaya tanıtan yine Harezmi’dir.

Gerbert (945-1003)

Gerbert, 945 yılında Auvergne’de bir kilisenin önünde rahipler tarafından bulunup, büyütülmüştür. Gerbert’in çok yetenekli ve parlak bir zekaya sahip olduğu kilisede hemen fark edilir. Gerbert bu kilisede tam yirmi yıl kalır.
Dokuz rakamla hesap yapan ilk batılı bilgin Gerbert’tir. Bu dokuz rakamı İspanya’nın sınır kentinde öğrenmişti. Gerbert bu dokuz rakamla oldukça kolay ve çabuk hesaplar yapıyordu. Bu nedenle kendisine sihirbaz ve büyücü gözüyle bakıyorlardı.
Burada ilginç olan yan, Gerbert’in sıfır rakamını bilmemesiydi. On rakamı ile hesap yapılması, Gerbert’ten tam yüzyıl sonra büyük Türk matematikçisi Harezmi’nin “Hesap Kitabı”  nın Latinceye çevrilmesinden ve Orta İspanya’dan batıya ulaşması ile gerçekleşmesi olmuştur.

Ömer Hayyam (1048-1131)

Asıl adı Gıyaseddin Ebu’l Feth Bin İbrahim El Hayyam’dır. 18 Mayıs 1048’de İran’ın Nişabur kentinde doğdu.
İlgilendiği ilimler; matematik, fizik, astronomi, şiir, tıp, müzik’tir. Daha yaşadığı dönemde İbn-i Sina’dan sonra Doğu’nun yetiştirdiği en büyük bilgin olarak kabul ediliyordu. O herkesten farklı olarak yaptığı çalışmalarının çoğunu kaleme almadı, oysa o ismini çokça duyduğumuz teoremlerin isimsiz kahramanıdır.
Eserleri arasında; Cebir ve Geometri Üzerine, Fizikler Bilimler Alanında Bir Özeti, Oluş ve Görüşler, Bilgelikler Ölçüsü, Akıllar Bahçesi yer alır. En büyük eseri Cebir Risalesi’dir.
Matematik bilgisi ve yeteneği zamanın çok ötesinde olan Ömer Hayyam denklemlerle ilgili başarılı çalışmalar yapmıştır. Bunun yanısıra, binom açılımını da bulmuştur. 4 Aralık 1131’de doğduğu yerde öldü.

Fibonacci (1170-1230)

Piza’lı Leonardo Fibonacci, Rönasanstan önce, Asya ülkelerinin matematiğini Avrupa’ya en etkili olarak taşıyan ve götüren biri olarak bilinir. Yaşam öyküsü hakkında hemen hemen hiçbir şey bilinmiyor. Yalnız, babası karşı sahillerdeki müslümanlarla ticaret yapan bir tüccardı. Babası, Leonardo’ya hesap öğretmesi için Arap bir hoca tuttu.
Öğretmenlerin ona verdiği matematik dersleri daha çok yaşam koşullarıyla ilgiliydi. Matematiği iyice kavradıktan sonra, sayılar kuramı ve geometri üzerine iki kitap yazmıştır. Buluşlarının en ünlüsü, Fibonacci dizisidir. Doğadaki çiçeklerin yaprakları üzerinde bile araştırma yapıyor, onların düzenini ve doğadaki olayların sayılarla ifade edilebileceğini keşfetmeye çalışıyordu. Bunlara daha sonra ”altın oranlar” denmiştir.
Leonardo Fibonacci’nin en büyük hizmeti, Harezmi’nin matematiği ile, çok kullanışlı olan Hint ve Arap karışımı sayılarını batıya tanıtmakla çok büyük bir görev yapmıştır.

Napier (1550-1617)

John Napier, Merchiston-Edinburg’da 1550 yılında doğdu. Merchiston Baronu ve İskoçya’lı bir matematikçi olan Napier, logaritmanın bulucusu olarak bilinir. Zaten aritmetik için üç aşama vardır. İlki, sayıların on tabanına göre yazılması, ikincisi logaritmanın bulunuşu ve üçüncüsü de şimdiki bilgisayarlardır.
Napier, Saint Andrews Üniversitesi’nde eğitim görmüş ve matematiği de içinden gelen bir merak olarak izlemiştir. Kendisi amatör bir matematikçidir. Sayısal hesaplamaları kolaylaştıracak bir yol ararken, önce Napier cetvelleri diye bilinen, üzerinde rakamlar yazılmış küçük değnekler yardımıyla yapılan bir çarpma veya bölme yöntemi buldu. 1,2,3,… şeklindeki aritmetik dizi ile, buna karşılık gelen 10,100,1000,… biçimindeki geometrik dizi arasındaki ilişkiyi gördü. 1614 yılında yazdığı “Logaritma Kurallarının Tanımı” adlı eserinde, aritmetik dizi ile geometrik dizinin karşılaştırılmasından, matematiğe logaritma kavramını getirdi. Buradaki aritmetik dizi, geometrik dizinin logaritmasıdır.
Napier, 1618 ve 1624 yılları arasında kusursuz iki logaritma cetveli yayınladı. Bu eser onun tam yirmi yıllık çalışmasının ürünüdür. Napier’in bu konuda çok sayıda eseri vardır. Bazı hesap makinalarının temellerini veren iki kitabı, 1617 yılında yayınlandı. 1617’de Edinburgh’ta öldü.

Johannes Kepler (1571-1630)

Johannes Kepler, 1571 yılında Württemberg’de Wiel’de doğdu. Tanınmış bir Alman astronom ve modern astronomiyi kuranlardandır.
Gelişmiş merceklerin teleskopta kullanılmasına önderlik ederek ışık bilimine de yardım etti. Gezegenlerin Güneş etrafındaki hareketlerini kesin olarak hesaplayan Alman gökbilimcisidir. Güneşin, gezegenlerin merkezi olduğunu benimsedi. Gezegenlerin yörüngelerinin, odak noktalarının birinde Güneş olan elipsler olduğunu saptadı. Bu Kepler yasalarının ilkidir. Üç tane buluşuna “Kepler Yasaları” denir. Bunlar:
  1. Her gezegen, odaklarından birinde Güneşin bulunduğu elipsin üzerinde hareket eder.
  2. Bir gezegenle Güneşi birleştiren vektör eşit zamanlarda eşit alanlar tarar.
  3. Güneş etrafındaki herhangi iki gezegenin dönüş devirlerinin karelerinin bölümü, bu gezegenlerin Güneşe olan uzaklıklarının küplerinin bölümüne eşittir. Yani, bu bölüm sabittir.
Kepler’in bu yasalarının matematiksel olarak gösterilmesi de oldukça zordur. Kepler ayrıca, enlem ve çizgilerini ilk kez kesin olarak hesaplayanlardan biridir. 1630’da öldü.

Rene Descartes (1596-1650)

Yalnız sükun ve rahat istiyorum diyen Rene Descartes, Avrupa’nın savaşa sürüklendiği yıllarda, Fıransa’nın Tours kenti yakınında La Haye’de 31 Mart 1596’de doğdu. Asılzade, asker ve matematikçi olan Descartes, metafizik ve kuramsal fikirlerden çok, analitik geometrisi ile yeni bir çığır açmıştır. Savaşlar, kıtlıklar, salgın hastalıklar, fakirlik, pislik ve cahilliğin hüküm sürdüğü bir ortamda yaşıyordu.
Descartes, asil bir aileden geliyordu. Babası varlıklıydı. Rene’nin doğumundan birkaç gün sonra annesi öldü. Babasının küçük filozofu Descartes, çevresinde ve dünyada gördüğü her şeyin nedenini soruyordu. Descartes’in yetenekleri daha okul sıralarında ortaya çıkmıştı. 14 yaşındayken, okuldaki eğitimin insani bakımdan kısır olduğunu sezmişti. Körü körüne inanılması ve bağlanılması gerekenleri temelsiz görüyor ve ispatsız hiçbir şeyi kabul etmiyordu. Bu yüzden de papazlarla tartışmaya ispat yoluyla başladı. Her şeyden şüphe ediyordu.
Her girdiği işte canla başla çalışıyordu. İki yıl matematik araştırmalarını yaptığı evi, saygısız arkadaşları yine buldu. Çekilmeyen arkadaşlarından kurtulup huzura ve sükuna kavuşmak için savaşa gitmeye karar verdi. Fakat, burada da istediği sükunu bulamadı. Almanya’ya gitti. Bayram, tören ve şölenlere merak sardı. Yeniden askerliğe döndü.
Avrupa’daki iskolastik düşüncenin egemenliğini sürdürdüğü ve karanlık çağın sona erdiği yıllarda, Descartes’i dinsizlikle de suçlamışlardır. Onun dini fikir ve düşünceleri rasyonelistti ve oldukça sadeydi. Sağlıksız ve cılız büyüdüğü için, yıllarca ölüm korkusu içinde yaşamıştır. Paris’te sükunetli tam üç yıl geçirmiştir.
Onun daha çok soyut olan matematik bir kafası vardı. Uzun yıllar Hollanda’da kaldı. Optik, fizik, anatomi, embriyoloji, tıp, astronomi, meteoroloji ve gökkuşağı üzerindeki incelemelerini sonuçlandırmıştı. Her olaya bir hammadde gözüyle bakıyor ve ondan yeni bir şeyler çıkarmayı düşünüyordu. Bu nedenle çok yenilikçiydi. Yenilik onun yaşamı ve ruhuydu.
Biraz sükuna kavuştuğunu sandığı elli yaşları yöresinde, karşısına İsveç Kıraliçesi Christine çıktı. Bilmesi gereken her şeyi bilen, hatta daha fazlasını öğrenmiş olan ve çok yönlü olan on dokuz yaşındaki Christine, Descartes’i kendisine özel öğretmen olarak tuttu. Christine’nin insafsız ve bitmek tükenmek bilmeyen çalışmaları onu yedi bitirdi. Kış, soğuk ve Christine’nin amansız çalışmaları sonunda hastalandı. Doktorları kabul etmedi. 11 şubat 1650’de öldü.
Descartes, yeni bir geometriyi kurmuş ve modern geometrinin doğmasına olanaklar vermiştir.

Bonaventura Cavalieri (1598-1647)

İtalyan papazı ve matematikçisi olan Bonaventura Cavalieri, Milano’da doğdu. Galile’nin en iyi öğrencilerinden biri olan Cavalieri, 1629 yılından ölünceye kadar Bologna’ da  matematik okuttu. Astronomi ve küresel trigonometriyle ilgilendi. Logaritma ve hesaplarının İtalya’da uygulanmasında öncülük etti. ”Süreklilerin Bölünmezleri Yolundan, Yeni Bir Yöntemle İlerletilmiş Geometri” kuramıyla büyük ün kazanmıştır. Bu kuram, geometrik büyüklükleri, sonsuz öğeli bir sayıdan oluşmuş kabul eder. Bu öğeler, geometrik büyüklüğün ayrılabileceği en son terimdir. Bu nedenle de bölünemez olarak nitelenir. Uzunlukların, yüzeylerin ve hacimlerin ölçülmesi sonsuz sayıda bölünmezlerin toplamından başka bir şey değildir. Belirli bir integralin hesaplanması da bu ilkeye dayanır. Cavalieri, bu teoremiyle bugünkü sonsuz küçükler hesabı denen analizin öncüsü olarak sayılabilir. 1647’de Bologna’da ölen Cavalieri’nin kendi adıyla anılan postülatları, teoremleri ve bunlardan başka kitapları da vardır.

Fermat (1601-1665)

Fermat’ın babası bir deri tüccarı ve annesi de bir hukukçunun kızıydı. Fransa’da Lomagne’de doğdu. Oldukça sessiz ve sakin bir yaşam sürdürmüştür. Olgunluk çağındaki başarıları ve eserleri onun parlak bir öğrenci olduğunu gösterir.
Fermat’ın hayatının tarihi matematiktir. Birçok yabancı dil de öğrenmiştir. Memurluğunun yoğun işlerinden geriye kalan zamanlarında matematikle uğraşmıştır.Archimedes’in eğildiği diferensiyel hesaba geometrik görünümle yaklaşmıştır.
Eğrilerin çiziminde maksimum ve minimum noktalarının önemi bilinmektedir. İşte bu kavramları koyan yine Fermat’tır. Oldukça kolay gibi görülen bu problemin matematikte ve fizikte çok geniş ve ileri uygulamaları vardır. Ayrıca, bu kavramları ışık bilmine uygulamasını çok iyi beceren yine odur. Buna bağlı olarak yansıma, kırılma, geliş ve yansıma açıları üzerine yaptığı bağlılıklar önemini bugün bile korumaktadır. Fermat, analitik geometriyi üç boyutlu uzaya aktarmıştır. Amatör bir matematikçi ve düzenli bir evrak memuru olan Fermat’ın en önemli matematik çalışması sayılar kuramı üzerinedir. Asal sayılar üzerinde çok durmuştur.
n-kenarlı düzgün bir çokgenin n-kenarı ve n-açısı eşittir. Eski Yunanlılar pergel ve cetvelle 3, 4, 5, 6, 7 ve 10 kenarlı düzgün çokgenleri çizebiliyorlardı.  İ.Ö. 400 yıllarında, pergel ve cetvelle 7, 8, 11, 13,… kenarlı çokgenlerin çiziminin yollarını bulamamışlardı. Fermat bu problemi çözdü.
Fermat, eserlerini ve buluşlarını genellikle yayınlamaz ve birçok teoremlerini de karalamalar şeklinde bırakırdı. Hatta, bazı teoremlerin sadece ifadelerini yazdığı görülmüştür. Yani, ispata bile gereksinim duymamıştır. Basit gibi görünen bir problemini Euler, tam yedi yılda ancak ispatlayabilmiştir. Ölürken çalışmalarının birçoğunu da yaktığından, bize bilgi kalmamıştır. Fermat’ın bu davranışı matematik dünyası için bağışlanamaz.
Fermat, hiçbir zaman gerek Descartes ve gerekse Pascal gibi hayali ve çekici olan felsefelere kendini kaptırmamıştır. Kuramsal matematiği en yüksek düzeye çıkarmıştır.
12 Ocak 1665’te hayatında hikaye edilecek hiçbir şey bırakmadan ölmüştür. Fermat bu buluşlarını saklamayıp yayınlasaydı, matematikte daha birçok yenilikler birbirini izleyecekti. Ne yazık ki, Fermat bizi bundan yoksun bırakmıştır.

Pascal (1623-1662)

Pascal, 19 Haziran 1623 günü Fransa’da Clermont’ ta doğdu. Babası kültürlü bir adamdı.
Descartes ve Fermat gibi büyük matematikçilerle çağdaş olması bir yerde kendisi için bir şanssızlıktı. Bu nedenle, tek başına oluşturabileceği olasılıklar kuramının keşfini Fermat ile paylaştı. Kendisini “ harika çocuk”  diye ünlü yapan yaratıcı geometri fikrini, kendisinden daha az ünlü olan Desargues’dan esinlendi. Daha çok din ve felsefe konularına eğildiği için matematiğe az zaman ayırdı.
Pascal, çok erken gelişen bir çocuktu. Fakat, vücutça oldukça zayıftı. Bunların tersine kafası çok parlaktı. Çok küçük yaşta olmasına rağmen, matematiğe gösterdiği ilgi çok dikkat çekiyordu. Hatta matematik problemleriyle gece gündüz uğraşmaya başladı. Sağlığının bozulacağından kuşkulanan babası, bir aralık onun matematik çalışmasına engel olduysa da onun bu davranışı Pascal’ı matematiğe daha çok yöneltti.
Hiçbir yardım görmeden ve hiçbir geometri okumadan, çok küçük yaşta bir üçgenin iç açılarının toplamının 180 derece olduğunu kanıtlamıştır. Daha önce hiçbir kitabı okumadan, Euclides’in birçok önermesini ispatlamıştı. Pascal kendi kendine bir geometrici olmuştu.
Pascal, on altı yaşından önce, 1639 yılında, geometrinin en güzel teoremini ispat etti. İngiliz matematikçisi ünlü Sylvester, Pascal’ın bu büyük teoremine “Kedi Beşiği” adını vermiştir. Pascal, on bir yaşına gelince sesler hakkında bir eser vermiştir. On altı yaşındayken, konikler üzerine bir eser yazarak, ünlü Descartes’i hayretlere düşürmüştür. On sekiz yaşına gelince, şimdi Paris sanayi müzesinde saklanan hesap makinesini bulmuştur. Fizikte, havanın ağırlığını, sıvıların denge halini ve basıncı hakkında Pascal kanunlarını bulmuştur.
Pascal, on yedi yaşından ölümü olan otuz dokuz yaşına kadar ızdırapsız ve acısız gün görmedi. Hazımsızlık, mide ağrıları, uykusuzluk, yarı uyuklamalar ve bu ağrıların verdiği gece kabusları onu yedi bitirdi. Böyle olmasına rağmen, yine de bu ağrılar içinde durmadan çalışıyordu.
Yirmi üç yaşlarında, geçici bir felç geçirdi. Bu ona çok ağrılar verdi. Her şeye rağmen, düşüncesi ve kafasının çalışmaları sürüyordu.
1648 yılında Toriçelli’nin çalışmalarını inceleyerek, onun da önüne geçti. Yükseklikle basıncın değiştiğini saptadı.
Pascal, kız kardeşinin de etkisi ile 1654 yılından sonra kendini dünya işlerinden ve matematikten çekerek, hıristiyanlığın o koyu tutuculuğu içine gömülüp gittiği ve taassubun kurbanı olduğu bilinen bir gerçektir.
1658 yılının bir gecesinde, uykusuzluk ve diş ağrılarından kıvranan Pascal, kerpetenin egemen olduğu bir zamanda, korkunç ağrılarını unutmak amacıyla, birçok ünlü matematikçinin uğraştığı zarif sikloid eğrisine daldı. Tüm ağrılarının geçtiğini gördü. Ya da, sikloid üzerine o kadar daldı ki, tüm ağrı ve acılarını unuttu. Tam sekiz gün sikloid geometrisi üzerine çalıştı.
1658 yılında kendini oldukça hasta hissetti. Kısa aralıklarla gelen uyuklamalar dışında, şiddetli ve dinmek bilmeyen baş ağrıları ona çok eziyet ediyordu. Tam dört yıl bu ağrılarla kıvrandı. 1662 yılının Haziran ayında otuz dokuz yaşındayken öldü. Ölümünden sonra yapılan otopsisinde, ağrılarının nedeninin ciddi bir beyin hastalığından ileri geldiği saptandı.
Pascal, Fermat ile birlikte olasılıklar kuramını kurmakla, yeni bir matematik dünyası yaratmış oluyordu. Pascal üçgeni, binom açılımındaki katsayıları bulmaya yarar.
Hıristiyan dini, mezhepler ve sonu gelmez ağrılar içinde bir dahi, maddi olarak yok olup gitmiştir. Fakat, bıraktıklarıyla yaşamaktadır.

Christiaan Huygens (1629-1695)

Hollandalı fizikçi, matematikçi ve astronom olan Christiaan Huygens, 1629 yılında La Haye’de doğdu. Constantin Huygens’in oğlu olan Christiaan, bilimsel bir ortamda yetişti. Leiden ve Breda Üniversiteleri’nde okudu. Geometri ile ilgili eserlerini bastırdıktan sonra fiziğe yöneldi. Kendi adıyla anılan saati buldu.
Huygens’in yalnız matematik alanındaki çalışmaları bile onu ünlü yapmaya yeter. 1656’da, olasılıklar kuramının ilk eksiksiz incelemesini yaptı. Açan ve açılan eğriler kuramını kurdu. Bu kuramla, eğrilik merkezinin tanımını yaptı. Sikloidin özelliklerini buldu. Şisoit’un doğrulaştırılmasını başardı. Logaritma kuramını Huygens kurdu. Zincir eğrisi problemini çözümledi. Kepler’in pozitif göz merceklerinden daha üstün olan negatif göz merceklerini buldu. Huygens’in en büyük buluşları fizikte, özellikle mekanik ve optik alandadır. Yansıma ve kırılma kanunlarını buldu. Kuramsal ve uygulamalı bir adamdı. 1695’de doğduğu yerde ölmeden önce, Newton’un futon kuramına karşı çıktı.

James Gregory (1638-1675)

İskoçya’lı matematikçi ve fizikçi olan James Gregory, 1638 yılında Aberdeen’da doğdu. 1663’te kendi adını taşıyan ve “Optica Promota” adlı eserinde anlattığı yansımalı teleskopu buldu. Edinburg Üniversitesi’nde matematik profesörü oldu. Arı geometri ve analitik geometri ile ilgilendi. Pi sayısının değerini yeniden hesapladı. Yay ve teğet serisi açılımlarını buldu.
Çok kısa süren yaşam süresinde çok sayıda sonuçlar buldu. Özellikle diferansiyel ve integral hesap üzerinde çalışmaları vardır. Sonsuz küçük hesabında da çalıştı. 1675’te öldüğünde çok gençti.

Newton (1642-1727)

“Herkesin beni nasıl gördüğünü bilmem. Ben kendimi, deniz kenarında oynarken, önünde hiç keşfedilmemiş engin gerçek okyanusu yayılmış duran ve cilalı bir çakıl taşı ya da güzelce bir istridye kabuğu bulmakla zevk duyan bir çocuk gibi görüyorum.”  Newton.
İşte, uzun yaşamının son yıllarında kendisi hakkında böyle hüküm veren İsaac Newton, 1642’de Woolsthrope kasabasının bir şatosunda yaşayan bir çiftçi ailesinin oğlu olarak dünyaya geldi. İngiliz ırkının en büyük zekalı adamı olarak nitelenen Newton’un babası, oğlunun doğumundan önce otuz yaşında öldü. Annesinin söylediğine göre, zamanından erken doğan küçük Newton, o kadar ufak tefekti ki bir litrelik kavanozun içine bile sığabilirdi. Newton’un çocukluğu da dinç, canlı ve kuvvetli değildi. Diğer arkadaşları gibi eğlenceli vakit geçirme yerine, eğlencelerini ve oyunlarını kendi yaratıyor ve bunlarda parlak zekası ortaya çıkıyordu. Geceleri köylüleri korkutmak için kandilli uçurtmaları, tümü ile kendisinin yaptığı ve oldukça güzel işleyen hareketli oyuncaklar, su çarkları, gerçekten buğday öğüten bir değirmen, küçük kız arkadaşları için iş kutuları ve oyuncaklar, resimler, güneş saatleri, tahtadan yapılmış ve gerçekten işleyen duvar saati gibi şeyler onun çok erken yaşlarda yaptığı buluşlardı.
Newton, daha on sekiz yaşında, Cambridge’de öğrenci olduğu yıldan başlayarak, evrensel bir beğeniyle karşılandı. Üniversiteyi bitireli iki yıl olmadan, bilim dünyasınca alkışlanıyor ve hükümdarlardan saygı görüyordu.
Newton, ürkek yapılı, sinirli, çabuk kızan ve itirazla karşılanmaktan korkan bir yapıya sahipti. Eserlerini ancak kendisini seven dostlarının zoruyla bastırmıştır. Eserlerinin eleştirilmesinden kaçardı. ”Optiks” adlı eserinin eleştirilerine dayanamamış ve bu eseri yazdığına pişman olmuştur. Newton, Galile’nin uğraşmak zorunda kaldığı sürtüşmelerle karşılaşmış olsaydı, bir satır bile yayın yapamazdı. Yerçekimi genel kanununu 1687 yılına kadar yayınlamadı. Tam yirmi yıl bu genel çekim kanunu kuramını geliştirdi.
Grantham okuluna devam ettiği sıralarda ve Cambridge’e hazırlanırken köyün eczacısı Mr. Clarke’ın evinde kalıyordu. Orada eski bir kitap koleksiyonu buldu ve onları yutarcasına okudu. Newton hayatında hiç evlenmedi.
Newton’un hareket kanunları:
  1. (Eylemsizlik Kanunu) Bir cisme hiçbir kuvvet uygulanmazsa, bu cisim olduğu yerde hareketsiz kalır veya hareket halindeyse, bir doğru boyunca düzgün bir hareketle, yani ivmesi sıfır olan bir hızla hareket eder.
  2. Kütle m, sabit ivme a ve kuvvet f ise, f=ma şeklinde sabittir.
  3. (Etki ve Tepki Kanunu) Etki ve tepki eşittir ve ters yönde iki kuvvettir.
Newton’un en önemli buluşlarından birisi de evrensel çekim kanunudur. Newton bir gün elma ağacının gölgesinde otururken başına bir elma düşer. Bunun üzerine uzun uzun düşünür. Yine uzun çalışmalardan sonra ünlü, kütlelerin birbirlerini çekim kanununu bulur. Newton’a, bu buluşlarını nasıl bulduğu sorulduğunda, sürekli düşünmeyle, diye yanıt vermiştir.
Newton’un en önemli buluşu, diferansiyel ve integral hesabı keşfetmesidir. Zaten Newton’u dünyada gelmiş geçmiş üç büyük matematikçiden biri yapan buluşu budur.
Newton, 1661 yılının Haziran ayında Cambridge’deki Trinity College’e girdi. Newton’un matematik öğretmeni İsaac Barrow hem ilahiyatçı ve hem de matematikçiydi. Matematikte parlak fikirli olan Barrow, öğrencisinin kendisinden çok ileride olduğunu kabul ediyor ve 1669’da matematik kürsüsünü bırakıp sırası gelince yerini o eşsiz büyük deha Newton’a bırakıyordu.
1664 ile 1666 yılları arasında, yirmi bir yaşından yirmi üç yaşına kadar çok yoğun bir çalışmaya girmiş ve yaptığı çalışmaları uzun zaman gizli tutmuştur. Ocak 1664 yılında üniversiteyi bitirmiş ve lisans diplomasını almıştır.
Bir kuyruklu yıldız ile Ayın etrafındaki, Ayla ilgili şeyleri incelerken hastalandı. Bulduğu sonuçları da gizli tutmuştu. Bu iki yıl içinde diferansiyel ve integral hesabı keşfetmiş, genel çekim kanununu bulmuş ve beyaz ışığın analizini deneysel olarak yapmıştı. Bunların tümü, yirmi beş yaşından önce bulunmuş şeylerdi. 20 Mayıs 1665 tarihli bir yazısıyla, bir eğrinin üzerindeki bir noktadaki teğeti ve eğriliğini verecek yöntemini daha yirmi üç yaşındayken yayınlıyordu. İşte bu, diferansiyelin bulunuşunu müjdeliyordu. Bu sıralarda ünlü sonsuz küçükler hesabına doğru yaklaşıyordu. Yine bu sıralarda, binom formülünü buluyordu.
Evrensel genel çekim kanununun yayınlanmasının yirmi yıl gecikmesinin nedeni, kendisine yanlış sonuçların verilmesinden doğmuştur. Doğru hesabı yapabilmek için bir integralin hesap edilmesi gerekiyordu. Bugün bu integral kolaylıkla çözülebilir. Fakat Newton’u tam yirmi yıl düşündürmüştür. Çünkü, integral hesap yöntemleri bugünkü kadar geliştirilmemişti.
1667 yılında Cambridge’e dönüşünde Trinity Collegei’ne üye olarak atanan Newton artık rakipsizdi. 1668’de tek başına yansımalı teleskopu yapmış ve uyduları incelemekte kullanmıştır. ”Philosophy Naturalis Principia Mathematica”  adlı eserini yazmaya başladığında geceli gündüzlü çalıştı. Ünlü pertürbasyon kuramını ortaya atmıştır. Bu kuram daha sonra ilerletilerek elektronların yörüngelerine uygulanmış, on dokuzuncu yüzyılda bu kuramla Neptün ve yirminci yüzyılda da Plüton gezegeni keşfedilmiştir.
Principia’ları yazmak için on sekiz ay uykusuz ve gıdasız kalan Newton, ellili yaşlarına yaklaşıyordu. Bu yorgunluktan sonra 1692 sonbaharında iyice hastalandı. Yiyeceklere karşı olan tiksinti ve sürekli uykusuzluk neredeyse onu çıldırtıyordu. Ağır hasta olduğu tüm Avrupa’ya yayıldı. Düşmanları bile, daha sonra iyileşmesine çok sevindiler.
Newton, 1696’da elli dört yaşında darphanede para basımı düzenlemekle görevlendirildi. 1701 ile 1702 yıllarında, Cambridge Üniversitesi’ni parlementoda temsil etti. 1703 yılında Royal Society’nin başkanlığına seçildi. Ölünceye kadar da bu makamda kaldı. 1705 yılında Kıraliçe Anne tarafından chevalier’lik rütbesi ile onurlandırıldı.
1696 yılında Bernoulli ve Leibnitz, Avrupa’lı matematikçilere iki soru ile meydan okuyorlardı. Altı ay uğraşıldıktan sonra yeniden ortaya atılan problemleri, Newton ilk kez 29 Ocak 1696 günü akşamı darphaneden yorgun argın evine döndüğünde bir arkadaşından duydu. O gece her iki problemi de çözdü. Ertesi gün isim vermeden her iki çözümü de Royal Society’ye gönderdi. Çözümleri gören Bernoulli, hemen oradakilere, ”Ha! Arslanı pençesinden tanıdım”  diye haykırdı.
Newton 1716 yılında yetmiş yaşındayken bile fikri yapısı oldukça dinçti. Bu sırada Leibnitz yine ortaya attığı bir problemle Avrupa matematikçilerine meydan okuyordu. Newton problemi darphaneden akşam eve dönüşünde saat beşte almıştı. Çok yorgun olmasına karşın, problemin çözümünü o akşam hemen buldu. Tüm matematik tarihi boyunca, karşısına çıkan güçlükleri zekasını kullanarak yenen ve bu güçlükleri çözen Newton gibi biri gelmemiştir. O, İngiliz ırkının gelmiş geçmiş en büyük zekasıydı. Yaşadığı uzun yılları en mesut biçimde geçiren ve yaptıklarının sonuçlarını gören, takdir edilen, şan ve şöhretle alkışlanan tek matematikçi Newton’dur. Ömrünün son üç yılını çok ağrı ve acılar içinde yakalandığı böbrek taşı hastalığından çekti. Ölümüne yaklaşırken bir de öksürüğe yakalandı. Birkaç gün içinde ızdırap ve acıları duymayan bir rahatlığa erişti. 20 Mart 1727 sabahı bir ile iki arasında bu dev söndü. Cismen ölen, İngiliz ırkının en büyük dehasına karşın, elma yine yere düşmektedir.

Leibnitz  (1646-1716)

“Bende o kadar fikir var ki, eğer benden daha iyi görmesini bilenler bir gün onları derinleştirecek ve benim zihin emeğime kendi kafalarının güzelliğini katacak olurlarsa, sonraları belki bir işe yarayabilir” diyen Gottfried Wilhelm Leibnitz, 1 Temmuz 1646 günü Leipzig’te doğdu. Babası ahlak ilmi öğretmeni olup, üç nesilden beri Saksonya hükümetine hizmet etmiş bir aileden geliyordu. Bu nedenle ilk yılları oldukça ağır bir politika ile yüklü bir bilgiçlik havası içinde geçti.
Leibnitz altı yaşındayken babasını kaybetti. Tarih hevesini babasından almıştı. Sekiz yaşında Latince’ye başladı. Kendi gayreti ile Yunan’ca öğrendi. ”Characteristica Universalis” adlı ilk denemesini verdi. Bu eser, metafiziğin anahtarıdır.
Leibnitz, on beş yaşındayken Leibzig Üniversitesi’ne bir hukuk öğrencisi olarak girdi. 1663 yılının yazını Jena Üniversitesi’nde geçirdi. Leibzig’e dönünce yeniden hukuka başladı. 1666 yılında yirmi yaşındayken doktora sınavı için hazırdı. Leibnitz’e gıpta eden titiz Leibzig Fakültesi ona resmen gençliğinden dolayı, gerçekte tüm profesörlerden fazla hukuk bildiği halde, doktora ünvanını vermeyi kabul etmedi. Halbuki, 1863 yılında on sekiz yaşındayken, parlak bir tezle başölye ünvanını almıştı. 5 Kasım 1666 yılında Alfdorf Üniversitesi’ne bağlı Nürnberg Üniversitesi  “Tarihi Yöntem”  adlı çalışmasından dolayı doktora ünvanını verdi.
Durmadan okurdu, yazardı ve düşünürdü. Matematik çalışmalarının çoğunu kendisini çağıran aristokratlara giderken, çağın o kötü yollarında, kötü arabalar içinde sallana sallana yazmıştır. Bu çalışmaların tümü bugün Hannover kütüphanesinde bağlı olarak durur.
1666 yılında olasılıklar kuramına başladı. Bu sıralarda öğrenciydi. Matematik Leibnitz’in parlak zekasının fışkırdığı bir sahadır. Bundan başka hukuk, din, siyaset, tarih, edebiyat, mantık, metafizik ve kuramsal felsefe konularında sayısız eser bırakmıştır. Bundan dolayı kendisine evrensel deha denmektedir. Verimsiz gibi görünen soyut olasılıklar kuramının öncüsü Leibnitz’dir.
Leibnitz, matematik ve mantık alanında çağının iki yüzyıl ilerisindeydi. Diferansiyelin geometrik bir yorumunu verdi. Bu matematiğe en büyük hizmetti. Bugün, Leibnitz’in olasılıklar yöntemi, gösterim mantığı ve gelişmelerinde meydana çıkarıldığı biçimde analiz için, analizin kendisi kadar önemlidir.
Gauss’un söylediği gibi, Leibnitz, matematik bilgisinin çoğunu boş yere israf etmiştir. Eğer, onun eğildiği her konuda verdiği eserleri toplayacak büyük adamlar olsaydı, bugünkü ilim ve özellikle matematik tarihi bambaşka olurdu. Bunun yerine, yirmi yaşında Mainz Elektörü için bir hukuk danışmanı ve hatırı sayılır bir ticaret memuru oldu.
1675 yılında Royal Society’nin ilk yabancı üyesi oldu. Yine aynı yıl, diferansiyel hesabın bazı basit formüllerini çıkarmış, kendi sözüne göre, temel teoremi keşfetmişti. 1677 ile 1704 yılları arasında, Leibnitz’in yaptığı çalışmalar tüm Avrupa’ya yayıldı.
Leibnitz’in uğraştığı konuların tam bir listesini vermek olanaksızdır. Onun en az başarılı olduğu saha mekanik ve fizikti. En önemli eserleri içinde birçok akademiyi kurması ve onları çalıştırması sayılabilir.
Altmış sekiz yaşına doğru iyice çöktü. Eski zekası kalmadı. Hastaydı. Çok çabuk ihtiyarlıyordu. Leibnitz, yetmiş yaşına gelince Hannover’de öldü.

Bernoulli’ler

  1. Jacques Bernoulli
  2. Daniel Bernoulli
  3. Jean Bernolli
“Bu adamlar şüphesiz birçok şeyler başarmışlardır ve seçtikleri hedefe en iyi bir biçimde varmışlardır” diyen Jean Bernoulli, Bernoulli ailesinin neler yaptıklarını belirtmek istemektedir.
Üstün zekalı soylarının geçmişleri uzun uzun genetikçiler tarafından incelenmiştir. Üç veya dört nesilde sekiz on tane üstün zekalı matematikçi veren Bernoulli ailesi incelemeye değer. İçlerinden birçoğu hukukta, bilginlikte, edebiyatta, serbest mesleklerde, idari alanlarda ve görevlerde ve sanatta gerçek bir üstünlük göstermişlerdir. Matematik alanında daha çok Bernoulli soyunun ikinci ve üçüncü kuşakta sivrildiğini görmekteyiz.
Bernoulli ailesi, diferansiyel ve integral hesabın gelişmesinde, uygulanmaya konulmasında ve tüm Avrupa’ya yayılmasında en önde yer almışlardır.
Bernoulli’ler, Saint-Barthelemy toplu öldürmelerinde olduğu gibi, hügnoların katolikler tarafından toplu öldürülmelerinden kurtulmak için 1583 yılında Anvers’ten kaçan bir ailenin soyudur.
Şimdi, bu aileden gelen sekiz matematikçinin önemli ilmi çalışmalarını sırasıyla kısaca verelim.
I. Jacques, Leibnitz tarafından ortaya atılan diferansiyel ve integral hesabın şeklini inceledi. 1687 yılından, ölümü olan 1705 yılına kadar Bale’de matematik profesörlüğü yaptı. Analitik geometri, olasılıklar kuramı ve değişimler hesabına ait buluşları çok değerlidir. Sikloidin en çabuk iniş eğrisi olduğu, I. Jacques ve I. Jean kardeşler tarafından 1697 yılında, başka bilginlerle hemen hemen aynı zamanda bulundu. I. Jacques’in ölümünden sonra 1713 yılında olasılıklar kuramında “Ars Conjectandi” adlı büyük eseri yayınlandı.
I. Nicolas ta kardeşleri gibi matematikçi yaratılmıştı. On altı yaşında Bale Üniversitesi’nden felsefe doktoru ünvanını ve yirmi yaşında hukuktan en yüksek rütbeyi aldı. 1716 yılında öldüğünde ünü çok büyüktü.
I. Jean’ın ikinci oğlu Daniel (1700-1782), matematikçi oluncaya kadar doktorluk yaptı. Paris İlimler Akademisi ödülünü tam on kez kazandı. En ünlü eseri sıvılar dinamiğine aittir. Yirmi beş yaşındayken Saint Petersburg’a matematik profesörü olarak atandı. Anatomi, botanik ve fizik dersleri okuttu. Matematikte çok eser verdi. Daniel Bernoulli’ye, fiziğin kurucusu denilmiştir.
III. Nicolas, fiziğe çok çalıştı. Elde ettiği sonuçlar, Paris İlimler Akademisi ödülünü üç kez kazandıracak kadar parlaktı. Bu soyun yetenekleri bitmek tükenmek bilmez.